3.3 垂径定理-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（浙教版)

３．３　垂径定理


● 经历探索垂径定理及其推论的过程． ● 会利用垂径定理及其推论解决一些简单的几何问题,进 一步发展数学思维能力． J 知识点一　垂径定理 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,每一 条过圆心的直线都是它的对称轴． 垂径定理 (１)文字叙述:垂直于弦的直径平分这 条弦,并且平分弦所对的弧． (２)数学语言表述:如图３．３Ｇ１,在☉O 中,因为CD 为直径,CD⊥AB(OC⊥ AB),所 以 AM ＝BM,AC ︵ ＝BC ︵, AD ︵ ＝BD ︵ ． 图３．３Ｇ１ '. (１)垂径定理的条件有两个:①直径, ②垂 直,简 称 “垂 径”．结 论 有 两 条: ①平分弦,②平分弦所对的弧． (２)定理中“垂直于弦的直径”可以是 直径,也可以是半径,甚至可以是过圆 心的直线或线段． (３)定理条件中的“弦”可以是直径,结 论中的“平分弧”指既平分弦所对的劣 弧,也平分弦所对的优弧． 弧的中点:分一条弧成相等的两条弧 的点,叫做这条弧的中点．如图３．３Ｇ１, C 是AB ︵ 的中点,D 是ADB ︵ 的中点． 弦心距:圆心到圆的一条弦的距离叫 做弦心距．如图３．３Ｇ２,OC 的长就是弦 AB 的弦心距． 图３．３Ｇ２ ３０１ '. 　　应用垂径定理进行计算或证明 时,往往要构造如图３．３Ｇ２所示的直 角三角形,根据垂径定理与勾股定理, 得r２＝d２＋ ( a ２ ) ２ ．根据此关系式,在 a,r,d 三个量中,知道任意两个量就 可以求出第三个量． 【例１】如果☉O 的直径为１０cm,弦AB＝ ６cm,求圆心O 到弦AB 的距离． 图３．３Ｇ３ 解:如图３．３Ｇ３,连结OA, 过点 O 作OM ⊥AB 于 点M,则AM＝ １ ２AB． 因为AB＝６cm, 所以AM＝３cm． 因为☉O 的直径为１０cm, 所以OA＝ １ ２×１０＝５ (cm)． 在Rt△OAM 中,OM＝ OA２－AM２ ＝ ５２－３２ ＝４(cm), 所以圆心O 到弦AB 的距离为４cm． 4 　　在圆中计算有关线段的长度时, 常过圆心作弦的垂线段,利用垂径定 理和勾股定理来求解． 知识点二　垂径定理的推论 定理１ (１)文字叙述:平分弦(不是直径)的直 径垂直于弦,并且平分弦所对的弧． (２)数学语言表述:如图３．３Ｇ４,在☉O 中,因为CD 是直径,弦 AB 不是直 径,AM＝BM, 所以CD⊥AB,AC ︵ ＝BC ︵,AD ︵ ＝BD ︵ ． 图３．３Ｇ４ 定理２ (１)文字叙述:平分弧的直径垂直平分 弧所对的弦． (２)数学语言表述:如图３．３Ｇ４,在☉O 中,因为AD ︵ ＝BD ︵,CD 是直径,所以 CD⊥AB,AM＝BM．  　　对于一个圆和一条直线,若具备 以下五个条件中的任意两个,则一定 具备其他三个:①过圆心;②垂直于 弦;③平分弦(非直径);④平分弦所对 的优弧;⑤平分弦所对的劣弧．简记为 “知二推三”． 【例２】如图３．３Ｇ５,AB 是半圆O 的直径, 点O 是圆心,点C 是半圆上的一点,点 E 是AC ︵ 的中点,OE 交弦AC 于点D, 若AC＝１６cm,DE＝４cm,则OD 的 长为 cm． 图３．３Ｇ５ 解析:因为点 E 是AC ︵ 的中点,OE 过 圆心, ４０１ 所以 OE⊥AC,AD ＝CD ＝ １ ２AC＝ ８cm． 设半圆O 的半径为rcm, 则OA＝OE＝rcm,OD＝(r－４)cm． 在 Rt△ADO 中,由 勾 股 定 理,得 OA２＝AD２＋OD２,即r２＝８２＋(r－ ４)２,解得r＝１０． 所以OD＝１０－４＝６(cm)． 答案:６ 4 　　由弧的中点联想到垂径定理的推 论２,得出OE⊥AC,AD＝CD 是解 决问题的关键． 类型一　利用垂径定理及其推论 进行计算或证明 【题根１】如图３．３Ｇ６,△OCD 为等腰三角 形,底边CD 交☉O 于A,B 两点．求 证:AC＝BD． B DAC E O 图３．３Ｇ６ 分析:由于△OCD 是等腰三角形,故 作OE⊥CD 于 点 E,由 等 腰 三 角 形“三线合一”,得CE＝DE．又根 据垂 径 定 理,得 E 为 弦 AB 的 中 点,即 AE ＝BE,两 者 相 减 可 得 AC＝BD． 证明:如图３．３Ｇ６,作OE⊥CD 于点E． 由垂径定理,得AE＝BE． 因为△OCD 为等腰三角形, 所以CE＝DE, 所以CE－AE＝DE－BE, 即AC＝BD． >4 (１)垂径定理及其推论提供了在圆中 证明 线 段 相 等、垂 直 及 等 弧 的 重 要 依据． (２)利用垂径定理及其推论进行计算 或证明时,作出圆心到弦的垂线段是 添加辅助线的一种常用方法． 图３．３Ｇ７ １．如图 ３．３Ｇ７,在半径为 ５ 的☉O 中,A