3.1 圆-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（浙教版)





 - @   第３章　圆的基本性质 ３．１　圆


● 经历圆形成的过程,理解圆的有关概念． ● 经历探索点与圆的位置关系的过程,了解点与圆的位置 关系的判定与性质,会判断点与圆的位置关系． ● 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,会过不在 同一条直线上的三个点作圆． ● 了解三角形的外接圆、三角形的外心及圆的内接三角形 的概念． J 知识点一　圆的定义 在同一平面内,线段OP 绕它固定的一 个端点O 旋转一周(如图３．１Ｇ１),另一端 点P 所经过的封闭曲线叫做圆,定点O 叫做圆心,线段OP(不论转到什么位置) 叫做圆的半径．以点O 为圆心的圆,记做 “☉O”,读做“圆O”． 图３．１Ｇ１ '. (１)这是圆的动态定义,由此可以看 出,确定圆的两个要素是圆心和半径． 圆心 确 定 圆 的 位 置,半 径 确 定 圆 的 大小． (２)要注意圆是指“圆周”,即一条封闭 的曲线,而非“圆面”．  　　圆的静态定义:在同一平面内,到 定点的距离等于定长的所有点组成的 图形叫做圆．其中,定点称为圆心,定 长称为半径的长(通常也称为半径)． 它包括两个方面的含义:(１)圆上 各点到定点(即圆心)的距离等于定长 (即半径);(２)到定点的距离等于定长 的点都在圆上． ６８ 【例１】已知点O 和线段a,以点O 为圆 心,线段a 为半径作圆,可以作 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．无数个 解析:由于确定一个圆需要两个要素, 即圆心和半径,而题目中告诉了圆心 和半径,故可以作一个符合条件的圆． 答案:A 知识点二　与圆有关的概念 名称 内容 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦 直径 经过圆心的弦叫做直径,如下图, AB,AC 是弦,且AB 是直径 圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简 称弧．圆的任意一条直径的两个端点 分圆成两条弧,每一条弧都叫做半 圆．小于半圆的弧叫做劣弧,大于半 圆的弧叫做优弧．劣弧用符号“　︵”和 弧两端的字母表示,半圆和优弧用符 号“　︵”和三个字母表示(弧两端的字 母和弧中间的字母),如上图,AC ︵ 是 劣弧,ABC ︵ 是优弧 等圆 半径相等的两个圆叫做等圆 相等 的弧 能够重合的圆弧叫做相等的弧(简 称等弧) '. (１)弦与直径:直径一定是弦,但弦不 一定是直径;同一个圆中,两条直径等 长且相交,而两条弦可能平行,也可能 相交,但不一定等长． (２)弧与半圆:半圆一定是弧,但弧不一 定是半圆． 【例２】下列语句中,不正确的有 (　　) ①半圆是弧;②弧是半圆;③经过圆内 一点可以作无数条弦;④长度相等的 弧是等弧． A．①③④ B．②③ C．②④ D．①④ 解析:由弧的概念,知①不符合题意; 因为弧不一定是半圆,如优弧是弧,但 不是半圆,所以②符合题意;由弦的概 念,知③不符合题意;等弧是能够重合 的弧,长度相等并不能保证两弧能互 相重合,所以④符合题意． 答案:C 知识点三　点与圆的位置关系 点与圆 的位置 关系 点到圆心的 距离d 与半 径r的关系 图形 推理 过程 点在 圆内 d＜r 点A 在 圆 内 ⇔ d＜r ７８ 续表 点与圆 的位置 关系 点到圆心的 距离d 与半 径r的关系 图形 推理 过程 点在 圆上 d＝r 点A 在 圆 上 ⇔ d＝r 点在 圆外 d＞r 点A 在 圆 外 ⇔ d＞r '. (１)已知点到圆心的距离与半径的数 量关系,可以确定该点与圆的位置关 系;反过来,由点与圆的位置关系也可 以确定该点到圆心的距离与半径的数 量关系．这种数量与图形位置的相互 对应 关 系 是 数 形 结 合 思 想 的 具 体 体现． (２)符号“⇔”读做“等价于”,它表示从 符号“⇔”的左端可以得到右端,从符 号“⇔”的右端也可以得到左端． 【例３】如图３．１Ｇ２所示,在矩形 ABCD 中,AB＝６,AD＝８． 图３．１Ｇ２ (１)若以点A 为圆心,８为半径作☉A, 则点B,C,D 与☉A 有何位置关系? (２)若以点A 为圆心作圆,使B,C,D 三点中至少有一点在圆内,至少有一 点在圆外,试确定此圆半径r 的取值 范围． 分析:(１)分别求出点B,C,D 到☉A 的圆心A 的距离BA,CA,DA,由点到 圆心的距离与半径的数量关系可得 结论． (２)离点A 最近的点B 在圆内,离点A 最远的点C 在圆外,根据点与圆的位置 关系可得r的取值范围． 解:(１)如图３．１Ｇ２,连结AC． 由AB＝６＜８,AD＝８可得, AC＝１０＞８, 所以点B 在☉A 内,点 D 在☉A 上, 点C 在☉A 外． (２)当点B 在☉A 上时,r＝AB＝６; 当点C 在☉A 上时,r＝AC＝１０． 所以６＜r＜１０． 4 　　要确定点与圆的位置关系,关键