1.2 二次函数的图象-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（浙教版)

１．２　二次函数的图象


● 会用描点法画二次函数的图象,了解二次函数的图象 特征． ● 经历将二次函数图象平移的过程,理解函数图象平移的 意义,会从图象平移的角度认识y＝a(x－m)２＋k(a≠ ０)型二次函数的图象特征． ● 会用配方法将二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)化为 y＝a(x－m)２＋k(a≠０)的形式,从而确定二次函数图 象的顶点坐标和对称轴． ● 了解y＝ax２(a≠０),y＝a(x－m)２(a≠０),y＝a(x－ m)２＋k(a≠０)三类二次函数图象之间的相互关系． J 知识点一　二次函数y＝ax２ (a≠０)的图象的画法 二次函数y＝ax２(a≠０)的图象的画法 '. (１)一般地,用描点法所画的二次函数 的图象都是部分的、近似的．为了使图 象更准确,在列表取值时,一般是找关 于对称轴对称的点． (２)连结各点时,不能用直尺连结相邻 的两点． (３)二次函数图象的两端是无限延伸 的,故作图时要“出头”． 抛物线及其相关概念 二次函数y＝ax２(a≠０)的图象是一 条关于y 轴对称、过坐标原点并向上 伸展的曲线,像这样的曲线叫做抛物 线．抛物线与它的对称轴的交点叫做 抛物线的顶点,如抛物线y＝x２ 的顶 点为(０,０)． 【例１】在同一平面直角坐标系中作出 y＝ １ ４x ２ 和y＝－ １ ４x ２ 的图象． 解:(１)列表． x 􀆺 －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ 􀆺 y＝ １ ４x ２ 􀆺 ９ ４ １ １ ４ ０ １ ４ １ ９ ４ 􀆺 y＝－ １ ４x ２ 􀆺 － ９ ４ －１ － １ ４ ０ － １ ４ －１ － ９ ４ 􀆺 (２)描点． (３)连线．作出图象如图１．２Ｇ１所示． ８ 图１．２Ｇ１ 知识点二　二次函数y＝ax２ (a≠０)的图象的特征 一般地,二次函数y＝ax２(a≠０)的图象 具有以下特征: 二次函数 y＝ax２(a＞０) y＝ax２(a＜０) 图象 开口方向 向上 向下 顶点 坐标 (０,０) 位置 顶点是最低点 顶点是最高点 对称轴 y 轴(直线x＝０) 图象位置 x 轴上方 (除顶点外) x 轴下方 (除顶点外) 【例２】不画图象,说出抛物线y＝－２x２ 和y＝ １ ２x ２ 的对称轴、顶点坐标、开口 方向和图象的位置． 解:抛物线y＝－２x２ 的对称轴是y 轴,顶点坐标是(０,０),开口向下,顶点 是图象的最高点,图象在x 轴下方(除 顶点外); 抛物线y＝ １ ２x ２ 的对称轴是y 轴,顶 点坐标是(０,０),开口向上,顶点是图 象的最低点,图象在x 轴上方(除顶点 外)． 4 二次函数y＝ax２(a≠０)中的 a的两种作用 (１)a 的符号决定抛物线的开口方向, 当a＞０时,开口向上,当a＜０时,开 口向下; (２)|a|决定抛物线的开口大小,|a| 相同,抛物线的开口大小相同,|a|越 大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛 物线的开口反而越大． 知识点三　二次函数y＝ax２＋k 　　(a≠０),y＝a(x－m)２(a≠０), y＝a(x－m)２＋k(a≠０)的图象的特征 函数 大致图象 开口 方向 顶点 对称 轴 y＝ax２＋ k(a≠０) a＞０ 向上 a＜０ 向下 (０,k) y 轴 或直 线 x＝０ ９ 续表 函数 大致图象 开口 方向 顶点 对称 轴 y ＝ a(x－ m)２ (a≠０) a＞０ 向上 a＜０ 向下 (m,０) 直线 x＝m y ＝ a(x－ m)２＋k (a≠０) a＞０ 向上 a＜０ 向下 (m,k) 直线 x＝m '. 　　因为从y＝a(x－m)２＋k(a≠ ０)中可以直接看出抛物线的顶点坐 标,所以我们通常把y＝a(x－m)２＋ k(a≠０)叫做二次函数的顶点式．  　　y＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０)称 为二次函数的交点式,其中(x１,０), (x２,０)是该二次函数的图象与x 轴 的交点坐标． 【例３】求下列二次函数图象的开口方 向、对称轴和顶点坐标． (１)y＝ ２ ３x ２－５; (２)y＝－６．８(x＋２)２; (３)y＝７(x－５)２＋１０． 解:(１)开口向上,对称轴是y 轴,顶点 坐标是(０,－５)． (２)开口向下,对称轴是直线x＝－２, 顶点坐标是(－２,０)． (３)开口向上,对称轴是直线x＝５,顶 点坐标是(５,１０)． 知识点四　抛物线y＝a(x－m)２＋ k(a≠０)和y＝ax２(a≠０),y＝ax２＋ k(a≠０),y＝a(x－m)２(a≠０)的关系 '. (１)抛物线的平移规律可简记为“左加 右减,上加下减”． (２)抛物线的平移主要是看顶点的移 动,平移时只要抓住顶点的位置变化 就可以了． (３)抛物线y＝a(x－m)２＋k(a≠０) 经过反