1.1 二次函数-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（浙教版)





 - @   第１章　二次函数 １．１　二次函数


● 在实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间 的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学方法去 描述变量之间的数量关系． ● 理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式． ● 会建立简单的二次函数模型,并能根据实际问题确定自 变量的取值范围． ● 会用待定系数法求二次函数的表达式． J 知识点一　二次函数的概念 与一般形式 二次函数的概念 我们把形如y＝ax２＋bx＋c(其中a, b,c是常数,a≠０)的函数叫做二次函 数．例如,y＝x２－x－３,y＝２x２＋x, y＝－３x２＋１等都是y 关于x 的二次 函数． '. 　　二次函数等号右侧的形式是关于 自变量x 的二次多项式,其中二次项 系数不能为０．若二次项系数为０,则 函数就变为一次函数或常数函数． 二次函数的一般形式 任何一个二次函数的表达式都可以化 为y＝ax２＋bx＋c(a,b,c 是常数, a≠０)的形式．因此,我们把它叫做二 次函数的一般形式,其中ax２,bx,c 分别是二次项、一次项和常数项,而 a,b分别是二次项系数、一次项系数． '. 判断一个函数是否为二次函数的步骤 第一步:先将函数表达式进行整理,使 其右边是含自变量的代数式,左边是 因变量; 第二步:判断右边含自变量的代数式 是否为整式; 第三步:判断自变量的最高次数是否 为２; 第四步:判断二次项的系数是否为０． １ 【例１】下列函数中,y 是x 的二次函数的 是 (　　) A．x＋y２＋１＝０ B．y＝(x＋３)(x－３)－(x－３)２ C．y＝２＋ ４＋x２ D．x２＋y－２＝０ 解析:先将函数式进行变形,转化为用 含x 的代数式表示y 的形式,再根据 二次函数的定义进行判断．把 A 项中 的表达式变形为y２＝－x－１,显然x 的最高次数不是２,且y 的次数不是 １,所以 A 项不符合题意;把 B项中的 表达式变形为y＝６x－１８,显然x 的 最高次数不为２,所以 B 项不符合题 意;C项中等式的右边含x 的式子不 是整式,所以C项不符合题意;把 D项 中的表达式变形为y＝－x２＋２,符合 二次函数的定义,所以 D 项符合题意． 故选 D． 答案:D 知识点二　确定二次函数的 表达式 由实际问题确定二次函数的表达式的 一般步骤 '. 　　自变量的取值范围要使实际问题 有意义． > M  A 用待定系数法确定二次 函数表达式的一般步骤 (选学) '. 　　求二次函数的表达式的关键是先 确定x,y 的几组对应值,有几个系数 未知,就需几对x,y 的对应值,再代 入表达式中解关于未知数的方程(组) 即可． 【例２】在边长为４cm 的正方形中挖去 一个直径为xcm的完整的圆,设余下 部分的面积为ycm２,写出y 关于x 的 函数表达式,并写出自变量x 的取值 范围． 解:正方形的面积为４×４＝１６(cm２), 直径为xcm的圆的面积为π􀅰 x２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ π ４x ２(cm２),故余下部分的面积为y＝ １６－ π ４x ２．在正方形内完整的圆的最大 ２ 直径 不 超 过 正 方 形 的 边 长,即 ０＜ x≤４． 【例３】已知一个二次函数,当x＝０时, y＝０;当x＝２时,y＝ １ ２ ;当x＝－１ 时,y＝ １ ８． 求这个二次函数的表达式． 解:设二次函数的表达式为y＝ax２＋ bx＋c(其中a,b,c是常数,a≠０), 把x＝０,y＝０;x＝２,y＝ １ ２ ;x＝－１, y ＝ １ ８ 代 入,得 c＝０, ４a＋２b＋c＝ １ ２ , a－b＋c＝ １ ８ , ì î í ï ï ï ï ï ï ïï 解 得 a＝ １ ８ , b＝０, c＝０． ì î í ï ï ï ï ï ï 所以这个二次函数的表达式为y＝ １ ８x ２． 类型一　利用二次函数的概念 求有关字母的值 【题根 １】已 知 函 数 y＝ (m２ ＋m － ６)xm２－３m＋４是关于x 的二次函数,求 m 的值． 分析:由二次函数的定义,得 m２－３m＋４＝２, m２＋m－６≠０,{ 从而求得m 的值． 解:因为y＝(m２＋m－６)xm２－３m＋４是 二次函数, 所以 m２－３m＋４＝２,􀀋 m２＋m－６≠０．􀀌{ 解m２－３m＋４＝２,得m＝１或m＝ ２．􀀍 当m＝１时,m２＋m－６＝１＋１－６＝ －４≠０; 当m＝２时,m２＋m－６＝４＋２－ ６＝０． 因为m２＋m－６≠０, 所以m＝１． 􀀋因为自变量x 的最高次数为２,所以 m２－３m＋４＝２． 􀀌因为二次项系数不为０,所以 m２＋ m－６≠０． 􀀍因为 m２－３m ＋４＝２,所以 m２－ ３m＋２＝０． 所以(m－１)(m－