5.5 一次函数的简单应用-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

李的最大质量为　　　　kg． 图５．４Ｇ６ １１．在平面直角坐标系xOy 中,已知点 P(x,y)是第一象限内的点,且x＋ y＝８,点 A 的 坐 标 为 (１０,０),设 △OAP 的面积为S． (１)求S 关于x 的函数表达式,并写 出自变量x 的取值范围; (２)画出(１)中所求函数的图象． １２．(天津中考)１号探测气球从海拔５m 处出发,以１m/min的速度上升．与此 同时,２号探测气球从海拔１５m 处出 发,以０．５m/min的速度上升,两个气 球都匀速上升了５０min．设气球上升 时间为x min(０≤x≤５０)． (１)根据题意,填写下表． 上升时间(min) １０ ３０ 􀆺 x １号探测气球所在 位置的海拔(m) １５ 􀆺 ２号探测气球所在 位置的海拔(m) ３０ 􀆺 (２)在某时刻两个气球能否位于同一 高度? 如果能,这时气球上升了多长 时间? 位于什么高度? 如果不能,请 说明理由． (３)当３０≤x≤５０时,两个气球所在位 置的海拔最多相差多少米? ５．５　一次函数的简单应用


● 了解通过实验获得数据,然后根据数据建立一次 函数模型的一般过程． ● 体会一次函数与二元一次方程(组)的关系． ● 综合运用一次函数的表达式、函数图象以及结合 方程(组)等其他数学模型,解决简单的实际问题． 　　　 J 知识点一　建立一次函数模型 解决实际问题 在运用一次函数解决实际问题时,首 先要判定问题中的两个变量之间是不 是一次函数关系．当确定两个变量之间 是一次函数关系时,可求出函数表达 式,并运用一次函数的图象和性质进 一步求得所需要的结果． ６０２ 确定两个变量是否构成一次函数关系 的基本步骤: (１)通过实验、测量获得数量足够多的 两个变量的对应值． (２)建立合适的直角坐标系,在坐标系 中,以各对应值为坐标描点,并用描点 法画出函数图象． (３)观察图象特征,判定函数的类型． '. 　　“建模”可将日常生活和生产中 的很多问题转化为关于一次函数的 数学问题,其难点是函数表达式及实 际问题中自变量取值范围的确定．用 待定系数法求函数表达式时,通常选 择数值较简单,但又靠得不太近的两 对对应值． 【例１】某化工商店销售某种新型化工原 料,该商店为了了解这种原料的月销 售量y(千克)与实际售价x(元/千克) 之间的关系,每个月调整一次实际售 价,试销一段时间后,部门负责人把试 销情况列成下表: 实际售价x (元/千克) 􀆺 １５０１６０１６８１８０ 􀆺 月销售量y (千克) 􀆺 ５００４８０４６４４４０ 􀆺 (１)请你建立适当的平面直角坐标系, 以实际售价x(元/千克)为横坐标,月 销售量y(千克)为纵坐标描出各点．观 察这些点的发展趋势,猜想y 与x 之 间可能存在怎样的函数关系． (２)请你用所学过的函数知识确定一 个满足这些数据的y 与x 之间的函数 表达式,并验证你在(１)中的猜想． 解:(１)描点画图如图５．５Ｇ１所示,观察 图象,知这些点的发展趋势近似是一 条直线,所以猜想y 与x 之间存在着 一次函数的关系． 图５．５Ｇ１ (２)根据(１)中猜想,设y＝kx＋b,将 点(１５０,５００),(１６０,４８０)的坐标分别 代入y＝kx＋b,得 ５００＝１５０k＋b, ４８０＝１６０k＋b,{ 解 得 k＝－２, b＝８００．{ 所以y＝－２x＋８００． 将点(１６８,４６４),(１８０,４４０)的坐标分 别代入y＝－２x＋８００,均成立． 所以(１)中猜想y 与x 之间存在着一 次函数关系是正确的． 知识点二　一次函数与二元 一次方程(组)的关系 一次函数与二元一次方程的关系 (１)关于x,y 的二元一次方程ax＋ by＋c＝０(a≠０,b≠０)总能整理变形 为y＝－ a bx－ c b (a≠０,b≠０)的形 式,即一个二元一次方程对应着一个 ７０２ 一次函数． (２) 适合ax＋by＋ c＝０(a≠０, b≠０)的 一 对 x,y 的值 转化 􀜩􀜨􀜑 函数y＝－ a bx－ c b (a≠０,b≠０) 图 象 上 的 一 个 点的横坐标、纵 坐标 一次函数与二元一次方程组的关系 (１)从“数”的角度看: 解方程组 转化 􀜩􀜨􀜑 求自变量为何值时, 相应的两个一次函 数的值相等,以及这 个函数值是何值 (２)从“形”的角度看: 方程组的解 转化 􀜩􀜨􀜑 两条相应直线交 点的坐标 '. 　　利用二元一次方程组的解可以 确定两个一次函数图象的交点坐标; 反之,利用两个一次函数图象的交点 坐标,也可以确定二元一次方程组 的解． 　一次函数 二元一次方程 图象法求二元一次方程组的近似解 的一般步骤 (１)转化:把两个方程转化为两个一次 函数的形式:y＝k１x