5.4 一次函数的图象-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

 　　　　５．４　一次函数的图象与性质


● 了解一次函数图象的意义,会画一次函数的图象． ● 会求一次函数的图象与坐标轴的交点的坐标． ● 根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b(k,b 都 是常数,且k≠０)探索并理解k＞０和k＜０时图 象的变化． ● 掌握一次函数的图象及性质,会利用一次函数的 图象和性质解决简单的实际问题． 　　　 J 知识点一　函数的图象及其 画法 函数图象的概念 把一个函数的自变量x 的值与函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐 标,并在直角坐标系中描出坐标对应 的点,这些点所组成的图形叫做这个 函数的图象． 描点法画函数图象的一般步骤 (１)列表:在自变量的取值范围内,选 取自变量的一些代表值,算出相应的 函数值,列出表格． (２)描点:建立平面直角坐标系,以自 变量的值为横坐标,相应的函数值为 纵坐标,描出这些点． (３)连线:用直线连结这些点,得到函 数图象． 函数的图象与表达式的关系 (１)图象上任意一点P(x,y)中x,y 满足表达式． (２)满足函数表达式的任意一对x,y 的值所对应的点一定在函数图象上． 【例１】在同一直角坐标系中,画出函数 y＝－x 与y＝x－２的图象． 解:(１)列表: x 􀆺 －３－２－１ ０ １ ２ ３ 􀆺 y＝－x 􀆺 ３ ２ １ ０ －１－２－３ 􀆺 y＝x－２ 􀆺 －５－４－３－２－１ ０ １ 􀆺 (２)描点:在平面直角坐标系中描出表 中各点． (３)连线:函数y＝－x 与y＝x－２的 图象如图５．４Ｇ１所示． 图５．４Ｇ１ ８９１ 4 　　由于函数y＝－x 及y＝x－２ 中的自变量x 的取值范围是全体实 数,故连线时应向两方延伸,而不能 连成线段． 知识点二　一次函数的图象 及其画法 一次函数的图象 > M  A 一次函数y＝kx＋b(k,b 都是常数,且k≠０)可以 用直角坐标系中的一条 直线来表示,这条直线也叫做一次函 数y＝kx＋b的图象． 一次函数图象的画法 根据“两点确定一条直线”可知,画 一次函数图象时,只需先描出两点, 再过这两点画直线即可． 一次函数图象与坐标轴交点的坐标 一般地,对于一次函数y＝kx＋b(k,b 都是常数,且k≠０),令x＝０,解得函 数y 的值为b,即直线与y 轴交点的 纵坐标;令y＝０,解得x 的值为－ b k , 即直线与x 轴交点的横坐标．由此得 到一次函数y＝kx＋b(k,b都是常数, 且k≠０)的图象与x 轴交点的坐标为 ( － b k ,０) ,与y轴交点的坐标为(０,b)． '. 　　(１)画一次函数的图象时,选点 应以计算和描点方便为原则,一般来 说,当b≠０,画一次函数y＝kx＋b (k,b都是常数,且k≠０)的图象时, 应选取它与 两 个 坐 标 轴 的 交 点(０, b),( － b k ,０) ;当b＝０,画正比例函数 y＝kx(k是常数,k≠０)的图象时,一 般选取(０,０),(１,k)两点作直线． 　　(２)一次函数y＝kx＋b(k,b都 是常数,且k≠０)的图象与y 轴的交 点坐标为(０,b),因此一次函数y＝ kx＋b(k 是常数,k≠０)的图象可看 成是由正比例函数y＝kx(k 是常 数,k≠０)的图象向上(或向下)平移 |b|个单位得到的． 　　(３)k和b的符号对一次函数y＝ kx＋b(k≠０)的影响如下表所示: 名称 k b 图象 象限 一次函数 y＝kx＋b (k,b都是 常数,且 k≠０) k＞０ b＞０ 一、二、 三 b＝０ 一、三 b＜０ 一、三、 四 k＜０ b＞０ 一、二、 四 b＝０ 二、四 b＜０ 二、三、 四 ９９１ 【例２】求直线y＝ １ ２x＋２ 与x 轴和y 轴 的交点坐标,并画出这条直线． 解:令x＝０,得y＝２,所以直线与y 轴 的交点坐标是(０,２)． 令y＝０,得x＝－４,所以直线与x 轴 的交点坐标是(－４,０)． 画出这条直线如图５．４Ｇ２所示． 图５．４Ｇ２ 知识点三　一次函数的性质 (增减性) 　一般地,一次函数y＝kx＋b(k,b都是 常数,且k≠０)有下列性质: 当k＞０时,y 随x 的增大而增大; 当k＜０时,y 随x 的增大而减小． '. 　　利用一次函数y＝kx＋b(k,b 都是常数,且k≠０)的性质,根据图 象可以判断k 的符号: 　　(１)若图象从左到右是上升的, 则k＞０． 　　(２)若图象从左到右是下降的, 则k＜０． 【例３】若点P１(x１,y１),点P２(x２,y２) 在一次函数y＝－２x＋１的图象上,且 x１＞x２,则y１ y２．(填“＞” “＜”或“＝”) 解析:因为一次函数y＝－２x＋１,k＝ －２＜０,所以y 随x 的增大而减小． 又因为x１＞x２,所以y１＜y２．