5.3 一次函数-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

平均耗油量为０．０７L/km． (１)写出y 与x 之间的函数表达式; (２)求自变量x 的取值范围; (３)汽车行驶２００km 时,油箱中还剩 余多少汽油? １１．如 图 ５．２Ｇ９,在 长 方 形 ABCD 中, AB＝２,BC＝３,P 是BC 边上与B,C 两点不重合的任意一点,设AP＝x, 点D 到AP 的距离为y,求y 与x 之 间的函数表达式,并求出自变量x 的 取值范围． 图５．２Ｇ９ ５．３　一次函数


● 理解一次函数、正比例函数的概念,了解两者之间 的关系． ● 能根据所给条件写出一次函数的表达式,会用待 定系数法确定一次函数的表达式． ● 能应用一次函数解决简单的实际问题． 　　　 J 知识点一　一次函数与正比例 函数的概念 一次函数的概念 一般地,函数y＝kx＋b(k,b 都是常 数,且k≠０)叫做一次函数． > M  A 正比例函数的概念 当b＝０时,一次函数y＝ kx＋b 就变成y＝kx(k 为常数,k≠０),这个函数叫做正比例 函数,常数k叫做比例系数． ２９１ '. 　　(１)若函数是一次函数,则其表 达式可化为y＝kx＋b(k,b 都是常 数,且k≠０)的形式,反之也成立． 　　(２)一次函数表达式y＝kx＋b (k,b都是常数,且k≠０)的结构特征: ①一次项系数k≠０;②自变量x 的次 数是１;③常数项b可以是任意实数． 　　(３)自变量x 的取值范围:一般情 况下,一次函数中自变量x 的取值范 围是全体实数,但在实际问题中,注意 自变量的取值要有实际意义． 　　(４)正比例函数是特殊的一次函 数,二者之间的关系可用图５．３Ｇ１表示． 图５．３Ｇ１ 【例１】下列函数中,哪些是y 关于x 的 一次函数? 哪些是y 关于x 的正比例 函数? (１)y＝ ６ x ;(２)y＝x－５;(３)y＝－５x; (４)y＝２x２－３x;(５)y＝ ３ ２ (x－１); (６)y＝x(x－ １ ２) ． 解:根据定义可知,(２)(３)(５)是y 关 于x 的一次函数,(３)是y 关于x 的正 比例函数． 4 　　判断一个函数是否为一次函数, 只要 看 它 的 表 达 式 能 否 化 为 y＝ kx＋b(k,b都是常数,且k≠０)的形 式即可．在一次函数中,若常数项b＝ ０,则一次函数y＝kx＋b 就成为正 比例函数y＝kx． 知识点二　用待定系数法求 一次函数的表达式 　一般地,已知一次函数的自变量与函 数的两对对应值,求这个一次函数的 表达式有四步． (１)设:设所求的一次函数表达式为 y＝kx＋b,其中k,b是待确定的常数, 且k≠０． (２)代:把两对已知的自变量与函数的 对应值分别代入y＝kx＋b,得到关于 k,b的二元一次方程组． (３)求:解这个关于k,b 的二元一次方 程组,求出k,b的值． (４)写:把求得的k,b的值代入y＝kx＋ b,写出所求的一次函数表达式． 这种求函数表达式的方法叫做待定系 数法,其中未知系数称为待定系数． '. 　　(１)若已知函数是正比例函数, 则可直接设函数表达式为y＝kx(k 为常数,且k≠０),此时只需知道一 对对应值即可求出k 的值． 　　(２)若已知函数是一次函数,设 表达式为y＝kx＋b(k,b都是常数, 且k≠０),此时需要两对对应值才能 求出k 和b的值． ３９１ 【例２】已知y 与２x－１成正比例,且当 x＝１时,y＝３,求y 关于x 的函数表 达式． 分析:由y 与２x－１成正比例,可设 y＝k(２x－１),把x,y 的值代入函数 表达式,求得k 的值,然后把k 的值代 入函数表达式展开成y 与x 的函数 形式． 解:设函数表达式为y＝k(２x－１)(k≠０)． 把x＝１,y＝３代入,得３＝k(２×１－１), 解得k＝３． 所以y＝３(２x－１)＝６x－３． 所以y 关于x 的函数表达式为y＝ ６x－３． 4 　　用待定系数法确定一次函数的 表达式的关键是依据题目中的已知 条件,正确地列出方程(组),利用方 程组确定待定系数的值． 类型一　一次函数与正比例 函数概念的应用 【题根１】已知关于x 的函数y＝(２m－ １)xn－１＋１－３m,当m,n 为何值时, (１)这个函数为正比例函数? (２)这个函数为一次函数? 审题关键:本题考查一次函数和正比 例函数的概念．对于函数y＝kx＋b, 当k≠０时为一次函数;当k≠０,b＝ ０时为正比例函数．根据概念列出方 程(或不等式)组求解即可． 解:(１)由正比例函数的概念,得 １－３m＝０, ２m－１≠０, n－１＝１, ì î í ï ï ï ï 解得 m＝ １ ３ , m≠ １ ２ , n＝２, ì î í ï ï ïï ï ï ï 所以当m＝ １ ３ ,n＝２时, y＝