3.1 认识不等式-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

第３章　一元一次不等式 ３．１　认识不等式


● 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义． ● 了解不等号的意义,会根据给定的条件列不等式． ● 会用数轴表示简单的不等式． 　　　 J 知识点一　不等式的意义 不等式的定义 用符号“＜”(或“≤”),“＞”(或“≥”), “≠”连接而成的数学式子,叫做不等 式．这些用来连接的符号统称不等号． 常用的五种不等号的表示与意义 种类 符号 实际意义 举例 小于 ＜ 大于 ＞ 严格 不相等 左边小于右边 ３＜７ 左边大于右边 ７＞３ 小于 或等 于 ≤ 大于 或等 于 ≥ 只 要 有 一 个 关 系 成 立,不等式 便成立 不大于、 不多于等 ２≤２, ２≤５ 不小于、 不少于等 ２≥２, ５≥２ 不等于 ≠ 左右两边不相等 ３≠４ '. 　　(１)不等式表示的是不等关系, 是同类量的比较． 　　(２)不等号具有方向性,不等号 的开口所对的数较大,不等号的尖所 对的数较小． 【例１】选择适当的不等号填空: (１)－ ８ －４; (２)－(a－b)２ ０; (３)－ ２ ３ － １ ２ ; ０２１ (４)a２ ０; (５)７×(－３) ４×(－３)． 解析:(１)因为－４＝－ １６, 所以－ ８＞－ １６． 所以－ ８＞－４． (２)因为(a－b)２≥０, 所以－(a－b)２≤０． (３)因为－ ２ ３＝－ ４ ６ ,－ １ ２＝－ ３ ６ , 所以－ ４ ６＜－ ３ ６． 所以－ ２ ３＜－ １ ２． (４)a２≥０． (５)因为７×(－３)＝－２１,４×(－３)＝ －１２, 所以－２１＜－１２． 所以７×(－３)＜４×(－３)． 答案:(１)＞　(２)≤　(３)＜ (４)≥　(５)＜ 知识点二　列不等式 用不等式表示不等关系的一般步骤 (１)找准题中存在不等关系的量; (２)正确理解题中表示不等关系的词 语,如多、少、快、慢、增加了、减少了、 不足、超过、不大于等确切的含义; (３)选择符合题意的不等号将表示不 等关系的式子连接起来． '. 　　列不等式时常用的不等关系 　　(１)若x 是正数,则x＞０． 　　(２)若x 是负数,则x＜０． 　　(３)若x 是非负数,则x≥０． 　　(４)若x 是非正数,则x≤０． 　　(５)若x 大 于y,则x＞y(或 x－y＞０)． 　　(６)若x 小 于y,则x＜y(或 x－y＜０)． 　　(７)若x 不小于y,则x≥y． 　　(８)若x 不大于y,则x≤y． 　　(９)若x,y 同号,则xy＞０( 或 x y ＞０) ． 　　(１０)若x,y 异号,则xy＜０( 或 x y ＜０) ． 【例２】用不等式表示下列数量关系: (１)x 的２倍与５的和不大于３; (２)a 的 平 方 的 一 半 与 ３ 的 差 不 小 于１; (３)x 与y 的和的平方是非负数; (４)b的一半与２的差是正数． 分析:(１)x 的２倍与５的和用式子表 示为２x＋５,不大于３即小于或等于 ３,因此列不等式为２x＋５≤３． (２)a 的平方的一半与３的差用式子表 示为 １ ２a ２－３,不小于１即大于或等于 １,因此列不等式为 １ ２a ２－３≥１． (３)x 与y 的和的平方用式子表示为 (x＋y)２,非负数即大于或等于０的 数,因此列不等式为(x＋y)２≥０． (４)b 的一半与２的差用式子表示为 １ ２b－２ ,正数即大于０的数,因此列不 １２１ 等式为 １ ２b－２＞０． 解:(１)２x＋５≤３． (２) １ ２a ２－３≥１． (３)(x＋y)２≥０． (４) １ ２b－２＞０． 4 解决此类问题的关键点 　　(１)用式子表示其中相关的量． 　　(２)重点抓住“大于”“小于”“不 大于”“不小于”“非正数”“非负数”等 关键词,用相应的不等号连接式子, 列出不等式． 　　(３)注意理解“不大于”“不小于” “非正数”“非负数”等词的含义,不能 丢掉等号． 知识点三　用数轴表示 不等式 因为所有的实数在数轴上都可以找到 一点与之对应,所以数轴可以表示全 体实数,两个数的不等关系也可以用 数轴直观地表示出来． 不等式 不等式 的意义 数轴表示 数轴表示 的意义 x＜a 小 于 a 的 全 体 实数 对应a 左 边 的 所 有 点,不 包 括a 在内 x≤a 小 于 或 等 于 a 的 全 体 实数 对应a 左 边 的 所 有 点,包括a 在内 续表 不等式 不等式 的意义 数轴表示 数轴表示 的意义 x＞b 大 于 b 的 全 体 实数 对应b 右 边 的 所 有 点,不 包 括b在内 x≥b 大 于 或 等 于 b 的 全 体 实数 对应b 右 边 的 所 有 点,包括b 在内 b＜x＜a (b＜a) 大 于 b 而 小 于 a 的