2.8 直角三角形全等的判定-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

２．８　直角三角形全等的判定


● 掌握判定直角三角形全等的特殊方法———“HL”, 能够灵活地选择判定方法判定两个直角三角形 全等． ● 掌握角平分线性质定理的逆定理,并能灵活运用． 　 　　　 J 知识点一　直角三角形全等的 判定方法———“HL” > M  A 斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等 (可以简写成“斜边、直角 边”或“HL”)． '. 　　(１)一般三角形全等的判定方法 SAS、ASA、AAS 和SSS,对于直角 三角形同样适用,但直角三角形除了 这些判定方法外,还可以用 HL 来 判定两个直角三角形全等． 　　(２)对于一般三角形,当有两边 及其中一边的对角分别对应相等时, 不能判定这两个三角形全等．因此, 用“HL”说明两个三角形全等时,先 要说明这两个三角形是直角三角形． 【例１】如图２．８Ｇ１,在四边形ABCD 中, AB＝CD,BF＝DE,AE⊥BD,CF⊥ BD,垂足分别为点E,F． 图２．８Ｇ１ 求证:△ABE≌△CDF． 证明:因为AE⊥BD,CF⊥BD, 所以∠AEB＝∠CFD＝９０°． 因为BF＝DE, 所以BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF． 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中, 因为AB＝CD,BE＝DF, 所以Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)． ６０１ 4 　　 应用“HL”时的三点注意 　　(１)“HL”是判定两个直角三角 形全等的方法,对于一般的三角形不 成立,在使用时一定要注意其应用的 范围． 　　(２)在书写格式上,直角三角形 的前面必须注明“Rt”． 　　(３)在已知条件中,没有指明三 角形是直角三角形的,必须依照定义 说明或证明该三角形是直角三角形, 否则不能直接应用“HL”． 知识点二　角平分线性质 定理的逆定理 逆定理的内容 (１)文字语言:角的内部,到角两边距 离相等的点,在这个角的平分线上． (２)符号语言:如图２．８Ｇ２,若 DP⊥ OA,EP⊥OB,且DP＝EP,则点 P 在∠AOB 的平分线上． 图２．８Ｇ２ '. 　　(１)该性质是判定一个点是否在 一个角的平分线上的一种方法． 　　(２)运用时要注意三个条件一个 都不能少:两处垂直,一个相等． 角平分线性质定理及其逆定理的区 别与联系 定理 性质定理 逆定理 文字 语言 角平分线上的点 到角两边的距离 相等 角的内部,到角两 边距离相等的点, 在这 个 角 的 平 分 线上 符号 语言 若DP⊥OA,EP⊥ OB,且∠１＝∠２, 则DP＝EP 若DP⊥OA,EP⊥ OB,且 DP＝EP, 则∠１＝∠２ 图形 备注 两个定理的条件不同,结论不同,作 用也不同,因此,在运用时一定要注 意两个定理的区别与联系,灵活选择 【例２】如图２．８Ｇ３,已知BE⊥AC,CF⊥ AB,垂足分别为E,F,BE,CF 相交于 点D,BD＝CD．求证:AD 平分∠BAC． 图２．８Ｇ３ 分析:要证 AD 平分 ∠BAC,只需证 DF＝DE．根据已知条件,利用 AAS 可直接证明△BDF≌△CDE,从而可 得出AD 平分∠BAC． 证明:因为BE⊥AC,CF⊥AB, 所以∠BFD＝∠CED＝９０°． 在△BDF 与△CDE 中, ７０１ 因为 ∠BFD＝∠CED, ∠BDF＝∠CDE, BD＝CD, ì î í ï ï ï ï 所以△BDF≌△CDE(AAS), 所以DF＝DE, 所以AD 平分∠BAC． 4 证明某线段平分角或点在 角平分线上的两步法 　　(１)找线上一点向角两边作垂线． 　　(２)证明两垂线相等． 类型一　运用“HL”判定两个 直角三角形全等 图２．８Ｇ４ 【题根１】如图２．８Ｇ４,在 △ABC 中,AB＝AC, AD⊥BD,AE⊥CE, 垂足分别为 D,E,且 AD＝AE,BD 与CE 交 于 点 O,求 证: OB＝OC． 审题关键:因为OB,OC 在同一个三角 形中,要证明OB＝OC,只需要证明 它们所对的角相等即可．由AB＝AC 可得,∠ABC＝ ∠ACB,故 只 需 由 △ABD ≌ △ACE 证 明 ∠ABD ＝ ∠ACE 即可． 证明:因为AD⊥BD,AE⊥CE, 所以△ABD 和△ACE 都是直角三 角形． 因为AD＝AE,AB＝AC, 所以Rt△ABD≌Rt△ACE(HL), 所以∠ABD＝∠ACE． 因为AB＝AC, 所以∠ABC＝∠ACB, 所以∠ABC－∠ABD＝∠ACB－ ∠ACE, 即∠OBC＝∠OCB,所以OB＝OC． >4 　　证明线段相等常用的方法是利 用三角形全等,但如果两条线段在同 一个三角形中,通常通过“等角对等 边”来证明． 图２．８Ｇ５ １．如图２．８Ｇ５所示,点B, F,C,E 在同一条直线 上,BF＝ CE,AB⊥