2.6 直角三角形-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

２．６　直角三角形


● 会用符号和字母表示直角三角形． ● 掌握直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角 互余”和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”． ● 会用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判定 直角三角形． ● 会用直角三角形的性质进行简单的推理与计算． 　　　 J 知识点一　直角三角形的概念 与表示 直角三角形 有一个角是直角的三角形叫做直角三 角形,直角三角形可以用符号“Rt△” 表示,如 图 ２．６Ｇ１ 的 三 角 形 可 记 为 Rt△ABC,其中AB 叫做斜边,AC 和 BC 叫做直角边． 图２．６Ｇ１ '. 　　斜边、直角边是直角三角形中边 的名称,在确定一个三角形是直角三 角形前,不能把边说成斜边、直角边． 等腰直角三角形 两条直角边相等的直角三角形叫做等 腰直角三角形． '. 　　(１)直角三角形是特殊的三角 形,因此它具有三角形的所有特性． 　　(２)等腰直角三角形既是一种特 殊的等腰三角形,又是一种特殊的直 角三角形,因此它既有等腰三角形的 特性,又有直角三角形的特性．要说 明一个三角形是等腰直角三角形,既 要说明有一个角是直角,又要说明两 直角边相等． 【例１】在△ABC 中,如果∠A＝∠B＋ ∠C,那么 △ABC 是直角三角形吗? 为什么? 解:△ABC 是直角三角形．理由如下: 因为∠A＋∠B＋∠C＝１８０°,∠A＝ ０９ ∠B＋∠C, 所以２∠A＝１８０°, 所以∠A＝９０°, 所以△ABC 是直角三角形． 4 　　要说明一个三角形是直角三角 形,只需要说明这个三角形中最大的 角是直角即可．在解决关于角的问题 时,一般可结合三角形的内角和定理． 知识点二　直角三角形的 性质定理 (１)直角三角形的两个锐角互余． (２)直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半．  图２．６Ｇ２ 　　在直角三角形中,３０°角所对的 直角边等于斜边的一半． 　　证明:如图２．６Ｇ ２,在等边三角形ABC 中,AD⊥BC,由等边 三角形三线合一的性 质,得 ∠BAD ＝３０°, BD＝ １ ２BC＝ １ ２AB． 由此我们可以得 到“在直角三角形中,３０°角所对的直 角边等于斜边的一半”． 图２．６Ｇ３ 【例 ２】 如 图２．６Ｇ３,在 △ABC 中,∠ACB ＝ ９０°,∠B＝４０°,D 为线 段 AB 的 中 点,则 ∠ACD＝　　　　． 解析:在△ABC 中,因为∠ACB＝９０°, ∠B＝４０°,所以∠A＝５０°．因为D 为线 段AB 的 中 点,所 以 CD ＝ １ ２AB ＝ AD,所以∠ACD＝∠A＝５０°． 答案:５０° 知识点三　直角三角形的 判定方法 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三 角形． 直角三角形的判定定理 有两 个 角 互 余 的 三 角 形 是 直 角 三 角形． '. 　　(１)该定理是直角三角形性质定 理的逆定理． 　　(２)两个角互余是指在同一个三 角形中的两个角互余．  　　由教材第７１页例２可得直角三 角形的另外一种判定方法:若三角形 一边上的中线等于这条边的一半,则 这个三角形是直角三角形,这条边是 直角三角形的斜边．此方法在以后的 解题中也可以直接应用． 【例３】在△ABC 中,若∠A＝１５°,∠B＝ ７５°,则该三角形是不是直角三角形? １９ 解:是,因为在△ABC 中,∠A＝１５°, ∠B＝７５°, 所以∠C＝１８０°－１５°－７５°＝９０°, 所以△ABC 是直角三角形． 类型一　利用直角三角形的 性质解决线段问题 【题根１】已知:如图２．６Ｇ４,在△ABC 中, ∠C＝９０°,AC＝BC,AD 平分∠CAB． 求证:AB＝AC＋CD． 图２．６Ｇ４ 审题关键:本题可通过构建全等三角 形来求解．过点D 作DE⊥AB 于点 E,那么可得出△ACD≌△AED,因 此AC＝AE,DC＝DE,下面只需证 明DE＝BE,即可得出所需证明的 结论．由于△ABC 是等腰直角三角 形,故 △BDE 也 是 等 腰 直 角 三 角 形,即DE＝BE,由此结论可得证． 图２．６Ｇ５ 证明:如图２．６Ｇ５,过点 D 作DE⊥AB,垂足 为点E． 因为∠C＝９０°, 所以∠C＝∠DEA． 因为AD 平分∠CAB, 所以∠CAD＝∠EAD． 在△ACD 和△AED 中, 因为 ∠C＝∠AED, ∠CAD＝∠EAD, AD＝AD, ì î í ï ï ï ï 所以△ACD≌△AED． 所以AC＝AE,CD＝ED． 因为AC＝BC,∠ACB＝９０°, 所以△ABC 是等腰直角三角形, 所以∠B＝∠CAB＝４５°, 所以∠BDE＝１８０°－９０°－４５°＝４５°, 所以∠BDE＝∠B,所以ED＝EB, 所以EB＝CD, 所以AB＝AE＋EB＝AC＋CD