2.5 逆命题和逆定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

三角形,并在图中标出所画等腰三角形 的两个底角的度数． 图２．４Ｇ２６ １０．如图２．４Ｇ２７,在等边三角形ABC 中, 已知∠B,∠C 的平分线相交于点O, BO,CO 的垂直平分线分别交BC 于 点E,F,你能得到BE＝EF＝FC 吗? 请说明理由． 图２．４Ｇ２７ ２．５　逆命题和逆定理


● 了解逆命题、逆定理的概念． ● 会识别两个命题是不是互逆命题,并能写出简单 命题的逆命题． ● 了解原命题成立,其逆命题不一定成立． ● 理解线段垂直平分线性质定理的逆定理． 　　　 J 知识点一　互逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条 件是第二个命题的结论,而第一个命 题的结论是第二个命题的条件,那么 这两个命题叫做互逆命题．如果把其中 一个命题叫做原命题,那么另一个命 题就叫做它的逆命题． '. 　　(１)任何一个命题都有逆命题． 　　(２)原命题正确,它的逆命题未 必正确,即真命题的逆命题不一定是 真命题;原命题不正确,它的逆命题 也可能正确． 【例１】写出下列命题的逆命题,并判断 原命题和逆命题的真假． (１)两直线平行,同旁内角互补． (２)面积相等的三角形全等． 解:(１)逆命题:同旁内角互补,两直线 平行． 原命题和逆命题都是真命题． (２)逆命题:全等三角形的面积相等． 原命题是假命题,逆命题是真命题． 4 　　写一个命题的逆命题时,只要把 原命题的条件与结论对调即可,但需 要注意前提条件,并且要适当地组织 语言,使语句通顺． ５８ 知识点二　互逆定理 如果一个定理的逆命题能被证明是真 命题,那么就叫它是原定理的逆定理, 这两个定理叫做互逆定理． '. 　　(１)每个命题都有逆命题,但并 不是每个定理都有逆定理． 　　(２)一个定理的逆命题只有经过 推理证明是正确的,才能叫做原定理的 逆定理,否则该定理就不存在逆定理． 【例２】下列定理有没有逆定理? 若有, 请写出其逆定理． (１)全等三角形的对应角相等． (２)有一个角等于６０°的等腰三角形是 等边三角形． 解:(１)没有逆定理． (２)有逆定理:等边三角形是有一个角 等于６０°的等腰三角形． 4 　　 判断一个定理是否有 逆定理的两步法 　　(１)说出定理的逆命题． 　　(２)判断逆命题的真假．如果逆 命题为真命题,那么这个定理有逆定 理;如果逆命题为假命题,那么这个 定理就没有逆定理． 知识点三　线段垂直平分线 性质定理的逆定理 (１)文字语言:到线段两端距离相等的 点在线段的垂直平分线上． (２)符号语言:如图２．５Ｇ１,如果PA＝PB, 那么点P 在线段AB 的垂直平分线上． 图２．５Ｇ１ '. 　　(１)此定理可以证明点在线段的 垂直平分线上,也可以证明两直线 垂直． 　　(２)若一点到一条线段的两个端 点的距离相等,则这一点在这条线段的 垂直平分线上,且这样的点有无数个． 【例３】如图２．５Ｇ２,在△ABC 中,PM, PN 分别为边AB,AC 的垂直平分线, 且它们交于点 P,求证:点 P 也在边 BC 的垂直平分线上． 图２．５Ｇ２ 证明:连结 PA,PB,PC(图略)．因为 PM,PN 分别为边AB,AC 的垂直平 分线, 所以PA＝PB,PA＝PC, 所以PB＝PC, 所以点P 也在边BC 的垂直平分线上． 4 　　本题证明了三角形的一个重要 性质:三角形三边的垂直平分线交于 一点,且这点到三角形三个顶点的距 离相等． ６８ 类型一　互逆命题及其证明 【题根１】已知命题:“点P 是等边三角形 ABC 内的一点,若点P 到三边的距离 相等,则PA＝PB＝PC．”写出它的逆 命题,并判断其真假．如果是真命题,请 写出推理过程;如果是假命题,请举出 反例． 审题关键:解决此类问题时,应先将原 命题的条件与结论交换位置写出其 逆命题,再判断逆命题的真假． 解:逆命题:“点P 是等边三角形ABC 内的一点,若PA＝PB＝PC,则点P 到三 边 的 距 离 相 等．”逆 命 题 是 真 命题． 已知:如图２．５Ｇ３,点P 是等边三角 形ABC 内的一点,PD⊥AB 于点 D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC 于点 F,PA＝PB＝PC． 图２．５Ｇ３ 求证:PD＝PE＝PF． 证明:因为PA＝PB, 所以点P 在AB 的垂直平分线上． 因为AC＝BC, 所以点C 在AB 的垂直平分线上． 所以CP 是AB 的垂直平分线． 所以CP 平分∠ACB． 同理,BP 平分∠ABC,AP 平分∠BAC． 所以点P 是△ABC 三个角的平分 线的交点． 所以PD＝PE＝PF． ?  　　逆命题就是把原命题的条件和 结论互换,但不是简单的文字上的互 换．因为这个逆命题是以文字形式构 成的,所以本题在证明时,应先按题 意画图,写出已知