2.3 等腰三角形的性质定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

６．等腰三角形的周长是２０cm,其中两边 的差是８cm,求这个等腰三角形各边 的长． 【能力提升】 ７．等腰三角形的周长为４０,以其某一边 为边作等边三角形,这个等边三角形的 周长为４５,那么这个等腰三角形的底 边长为 ． ８．(湖北荆州中考)如图２．２Ｇ９,在△ABC 中,AB＝AC,AB 的垂直平分线交边 AB 于点D,交边AC 于点E．若△ABC 与△EBC 的周长分别是４０cm,２４cm, 则AB＝ cm． 图２．２Ｇ９ ９．如图２．２Ｇ１０,线段OD 的一个端点O 在 直线a 上,以OD 为一边作等腰三角 形,并且使另一个顶点在直线a 上,能 作多少个这样的等腰三角形? (用尺规 作出相应的等腰三角形) 图２．２Ｇ１０ ２．３　等腰三角形的性质定理


● 掌握等腰三角形的性质定理１和等腰三角形的性 质定理２． ● 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理与计算． ● 掌握等边三角形的性质,并会利用其性质进行简 单推理． 　　　 J 知识点一　等腰三角形的性质 定理１及其推论 性质定理１ (１)文字语言:等腰三角形的两个底角 相等．也可以说成:在同一个三角形 中,等边对等角． (２)符号语言:在△ABC 中,若AB＝ AC,则∠B＝∠C． 推论 等边三角形的各个内角都等于６０°． ９６ '. 　　(１)“等边对等角”必须在同一个 三角形中,如果在两个三角形中有两 条边对应相等,那么它们所对的两个 角不一定相等． 　　(２)等边三角形具有等腰三角形 的一切性质,但是等边三角形的性质 等腰三角形不一定都具有． 【例１】如图２．３Ｇ１,P,Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且 PB ＝PQ ＝QC＝ PA＝AQ,求∠BAC 的度数． 图２．３Ｇ１ 解:因为PA＝PQ＝AQ, 所以△PAQ 是等边三角形． 所以∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝６０°． 所以∠APB＝１２０°． 因为PA＝PB, 所以 ∠B ＝ ∠PAB ＝ １ ２ × (１８０°－ ∠APB)＝ １ ２× (１８０°－１２０°)＝３０°． 同理,∠QAC＝３０°． 所 以 ∠BAC ＝ ∠PAB ＋ ∠PAQ ＋ ∠QAC＝３０°＋６０°＋３０°＝１２０°． 知识点二　等腰三角形的 性质定理２ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线和高线互相重合,简称等腰三角 形三线合一． '. 　　(１)该性质成立的前提是“等腰 三角形”,非等腰三角形不存在这样 的性质． 　　(２)“三线”中的角平分线是顶角 的平分线,中线和高线是针对底边来 说的,其他角或边的相应线段一般不 满足此性质． 图２．３Ｇ２ 【例 ２】(北 京 中 考)如 图 ２．３Ｇ２, 在 △ABC 中, AB＝AC,AD 是BC 边 上的 中 线,BE ⊥AC 于 点E． 求证:∠CBE＝∠BAD． 分析:由AB＝AC 想到∠ABC＝∠C, 由AD 是BC 边上的中线想到等腰三 角形三线合一的性质,进而得到AD⊥ BC,再结合BE⊥AC,就可以建立角 与角之间的数量关系,使问题得解． 证明:因为AB＝AC, 所以∠ABC＝∠C． 又因为AD 是BC 边上的中线, 所以AD⊥BC, 所以∠BAD＋∠ABC＝１８０°－９０°＝ ９０°． 因为BE⊥AC, 所以∠CBE＋∠C＝１８０°－９０°＝９０°． 所以∠CBE＝∠BAD． 4 　　已知“三线”中的“一线”,就可以 得到其他的“两线”,从而解决角相 等、线段相等或垂直等问题． ０７ 类型一　利用等腰三角形的 性质求角度 【题根１】(广西来宾中考)如图２．３Ｇ３,在 △ABC 中,AB＝AC,∠BAC＝１００°, AB 的垂直平分线DE 分别交AB,BC 于点D,E,则∠BAE＝ (　　) 图２．３Ｇ３ 　 　　　　　　　　　　　　A．８０° B．６０° C．５０° D．４０° 解析:因为 AB＝AC,∠BAC＝１００°, 所以 ∠B＝ ∠C＝(１８０°－１００°)÷ ２＝４０°．因为DE 是AB 的垂直平分 线,所以 AE＝BE,所以∠BAE＝ ∠B＝４０°．故选 D ． 答案:D １．如图２．３Ｇ４,在△ABC 中,AB＝AC, AH 是BC 边 上 的 高 线,∠B＝７０°, BC＝６cm,求BH 的长以及∠BAH, ∠CAH 的度数． 图２．３Ｇ４ 类型二　利用等腰三角形的 性质证明线段或角相等 【题根２】如图２．３Ｇ５,在△ABC 中,AB＝ AC,点 D 是 BC 的 中 点,点 E 在 AD 上． 图２．３Ｇ５ 求证:BE＝CE． 审题关键:根据等腰三角形三线合一 的性质可得∠BAE＝∠EAC,然后 利用“SAS”证明△ABE 和△ACE 全等,再根据全等三角形对应边相 等即可证明BE＝CE． 证明:因为 AB＝AC,点