2.2 等腰三角形-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

２．２　等腰三角形


● 了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的轴对 称性． ● 掌握等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对 称轴． ● 会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单的 几何问题． ● 了解等边三角形的概念,知道等边三角形与等腰 三角形之间的关系． 　　　 J 知识点一　等腰三角形及其 相关概念 如图２．２Ｇ１,等腰三角形及其相关概念 如下: 图２．２Ｇ１ (１)等腰三角形:有两边相等的三角形 叫做等腰三角形． (２)腰、底边:相等的两边叫做等腰三 角形的腰,第三边叫做底边． (３)底角:腰与底边的夹角叫做底角． (４)顶角:两腰的夹角叫做顶角． '. 　　 (１)因 为 三 角 形 的 内 角 和 为 １８０°,所以等腰三角形的顶角可以是 锐角、直 角 或 钝 角,而 底 角 只 能 是 锐角． 　　(２)等腰三角形中有关边角的名 称与三角形的摆放位置无关． 【例１】已知等腰三角形的周长是８,一边 长是３,那么它的腰长是 ． 解析:当３为腰长时,底边长为２,满足 三角形的三边关系;当３为底边长时, 腰长为(８－３)÷２＝２．５,满足三角形的 三边关系． 故腰长为３或２．５． 答案:３或２．５ ４６ 4 　　在描述等腰三角形的边或角时, 一般要明确说明是腰还是底边,是顶 角还是 底 角．若 题 目 中 没 有 明 确 说 明,则需要分类讨论． 知识点二　等腰三角形的轴 对称性 　等腰三角形是轴对称图形,顶角平分 线所在的直线是等腰三角形的对称轴． '. 　　(１)等腰三角形的顶角平分线所 在的直线是等腰三角形的对称轴,且 对称轴垂直平分连结对称点的线段． 　　(２)只能说等腰三角形的对称轴 是顶角平分线所在的直线,而不能说等 腰三角形的对称轴是顶角的平分线． 【例２】如图２．２Ｇ２,在△ABC 中,AB＝ AC,AD 平分∠BAC,E 是AB 上的一 点．请作出点E 关于直线AD 的对称点． 图２．２Ｇ２ 　　 图２．２Ｇ３ 解:因为AB＝AC, 所以△ABC 是等腰三角形． 又因为AD 平分∠BAC, 所以 AD 所在的直线是△ABC 的对 称轴． 如图２．２Ｇ３,过点E 作EG⊥AD 交AC 于点G,点G 就是所求作的点． 知识点三　等边三角形 　三条边都相等的三角形叫做等边三 角形． '. 　　(１)等边三角形是特殊的等腰三 角形,也具有轴对称性． 　　(２)等边三角形有三条对称轴,分 别是它的三条角平分线所在的直线． 【例３】若一个等边三角形的一边长为 １２,则它的周长为 ． 解析:根据等边三角形的概念,知等边 三角 形 的 三 边 都 相 等,所 以 周 长 为 １２×３＝３６． 答案:３６ 　 　　　　　　　　　　　　 类型一　等腰三角形边的 相关计算 【题根１】(１)等腰三角形的两边长分别 为２５和１３,则它的周长为 (　　) A．６３ B．５１ C．６３或５１ D．３８ (２)等腰三角形的两边长分别为５和 １２,则它的周长为 (　　) ５６ A．２９ B．２２ C．２２或２９ D．１７ 解析:(１)当 腰 长 为 ２５,底 边 长 为 １３ 时,满足三角形的三边关系,周长为 ２５＋２５＋１３＝６３; 当腰长为１３,底边长为２５时,满足 三角 形 的 三 边 关 系,周 长 为 ２５＋ １３＋１３＝５１． 故选C． (２)当腰长为１２,底边长为５时,满 足三角形的三边关系,周长为１２＋ １２＋５＝２９; 当腰长为５,底边长为１２时, 因为５＋５＜１２, 所以此时不能组成三角形． 故选 A． 答案:(１)C　(２)A >4 　　 求等腰三角形边长的方法 先设定腰长或底边长,再利用三 角形的三边关系检验其能否构成三 角形．因为等腰三角形有两条相等的 边,所以只要判断它的腰长的２倍与 底边长 的 大 小 关 系 即 可．当 腰 长 的 ２倍大于底边长时,一定能构成等腰 三角形;当腰长的２倍小于或等于底 边长时,不能构成三角形． １．已知等腰三角形的三边长分别是４x－ ２,x ＋ １,１５－ ６x,则 它 的 周 长 是 ． 类型二　等腰三角形的 相关证明 【题根２】如图２．２Ｇ４,CA,CB 是等腰三 角形ABC 的两腰,CD 平分∠ACB,求 证:△ABD 是等腰三角形． 图２．２Ｇ４ 审题关键:要 证 △ABD 是 等 腰 三 角 形,只要证得△ABD 有两边相等即 可．根据CA＝CB,CD＝CD,CD 平 分∠ACB,可得 △BCD ≌ △ACD, 故BD＝AD． 证明:因为CD 平分∠ACB, 所以∠BCD＝∠ACD． 在△BCD 和△ACD 中, CB＝CA, ∠BCD＝∠ACD, CD＝CD, ì î í ï ï ï ï 所以△BCD≌△ACD． 所以BD＝AD．