1.5 三角形全等的判定-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

图１．４Ｇ２０ １２．如图１．４Ｇ２１,已知BE 是△ABC 的高 线,点P 为BE 延长线上一点,点Q 为BE 上一点,△PAB≌△AQC．试猜 想 AP 与 AQ 的 位 置 关 系,并 说 明 理由． 图１．４Ｇ２１ １．５　三角形全等的判定


● 掌握四种判定三角形全等的方法,并能灵活运用 这些方法来判定三角形全等． ● 了解三角形的稳定性及其应用． ● 掌握线段垂直平分线和角平分线的性质,并能利 用它们推导两线段相等． ● 能用直尺和圆规作一个角的平分线． 　　　 J 知识点一　全等三角形的判定 方法１:“边边边”,即“SSS” 内容 (１)基本事实:三边对应相等的两个三 角形全等(简写成“边边边”或“SSS”, 其中S 表示边)． (２)三角形的稳定性:当三角形的三条 边长确定时,三角形的形状、大小就完 全确定,这个性质 叫 做 三 角 形 的 稳 定性． 书写格式 如图１．５Ｇ１,在△ABC 和△A′B′C′中, 因为 AB＝A′B′, BC＝B′C′, AC＝A′C′, ì î í ï ï ï ï 所以△ABC≌△A′B′C′(SSS)． C A B B′ A′ C′ 图１．５Ｇ１ ２３ '. 　　(１)在列举两个三角形全等的条 件时,应把三个条件按顺序排列(一 般把同一个三角形的三个条件放在 等号的同一侧),并用大括号将其括 起来． 　　(２)三角形的稳定性在生活中应 用广泛,如起重机的支架、房屋的人 字架、大桥的钢梁等． 【例１】如 图 １．５Ｇ２,C 是 AB 的 中 点, AD＝BE,CD＝CE．求证:∠A＝∠B． 图１．５Ｇ２ 证明:因为C 是AB 的中点(已知), 所以AC＝BC(中点的定义)． 在△ACD 和△BCE 中, 因为 AC＝BC(已证), AD＝BE(已知), CD＝CE(已知), ì î í ï ï ï ï 所以△ACD≌△BCE(SSS)． 所以∠A＝∠B(全等三角形的对应角 相等)． 4 　　证明边相等或角相等时,一般先 将它们化归到两个三角形中,再利用 已知条件证明这两个三角形全等,进 而得出相关结论． 【例２】如图１．５Ｇ３,一扇窗户打开后,用 窗钩AB 可将其固定,这里所运用的 几何原理是　 (　　) AO B 图１．５Ｇ３ A．三角形的稳定性 B．两点之间,线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 解析:因为用窗钩AB 将窗户固定后, 可形成△AOB,三角形具有稳定性,所 以窗扇的边OB 能被固定住,故选 A． 答案:A 4 　　解决此类问题的关键是看实际 情况中有没有构成三角形．若有,则 利用 了 三 角 形 特 有 的 性 质———稳 定性． 知识点二　用直尺和圆规作 已知角的平分线 　已知:∠AOB． 求作:∠AOB 的平分线． 作法:(１)以点O 为圆心,适当长为半 径作圆弧,与角的两边分别交于 M,N 两点． (２)分别以 M,N 为圆心,大于 １ ２MN 长 为 半 径 作 圆 弧,两 条 圆 弧 交 于 ∠AOB 内一点C． (３)过点O,C 作射线OC． 射线OC 就是所求作的∠AOB 的平分 线,如图１．５Ｇ４所示． ３３ 图１．５Ｇ４ '. 　　(１)以“大于 １ ２MN 长为半径作 圆弧”是因为以小于１ ２MN 长为半径 作 圆 弧 时 不 能 形 成 交 点,以 等 于 １ ２MN 长为半径不易操作． 　　(２)“过点O,C 作射线OC”不能 叙述为连结OC,因为角平分线 OC 是射线,而不是线段． 　　(３)两弧交点应在角的内部找, 因为要作的是角的平分线． 　　(４)作角平分线的依据:“SSS” 判定方法． 知识点三　全等三角形的判定 方法２:“边角边”,即“SAS” 内容 两边及其夹角对应相等的两个三角形全 等(简写成“边角边”或“SAS”,其中S 表 示边,A 表示角)． 书写格式 如图１．５Ｇ５,在△ABC 和△A′B′C′中, 因为 AB＝A′B′, ∠B＝∠B′, BC＝B′C′, ì î í ï ï ï ï 所以△ABC≌△A′B′C′(SAS)． A CB A′ B′ C′ 图１．５Ｇ５ '. 　　用两边和一角对应相等证明三 角形全等时,必须是两边及其夹角相 等,可简写为“边角边”或“SAS”．若两 个三角形有两边和其中一边的对角分 别相等,则这两个三角形不一定全等． 图１．５Ｇ６ 【例３】如图１．５Ｇ６,AB 平 分∠CAD,AC＝AD． 求证:BC＝BD． 证明:因为AB 平分 ∠CAD(已知), 所以∠CAB＝∠DAB(角平分线的定义)． 在△ABC 和△ABD 中, 因为 AC＝AD(已知), ∠CAB＝∠DAB(已证), AB＝AB(公共边), ì î í ï ï ï ï 所以△ABC