1.3 证明-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

１．３　证　明


● 知道证明的意义和必要性． ● 会按照规定格式证明简单命题． ● 学习 证 明 的 思 考 方 式,体 会 辅 助 线 在 证 明 中 的 作用． ● 知道三角形的外角及外角的性质． 　　　 J 知识点一　证明 证明的定义 要判定一个命题是真命题,往往需要从 命题的条件出发,根据已知的定义、基 本事实、定理(包括推论),一步一步推 出结论成立．这样的推理过程叫做证明． 证明的格式 证明的基本格式:“因为􀆺􀆺(　　), 所以􀆺􀆺(　　)”或“∵􀆺􀆺(　　), ∴􀆺􀆺(　　)”． '. 　　因为(∵)后面写“因”,它一般是 命题中的已知条件或特殊的数量(或 图形)关系;所以(∴)后面写“果”,它 一般是由已知条件直接推出的结论; 后面括号内写“因”或“果”的依据,也 就是我们所说的理由． 【例１】(山东淄博中考改编)如图１．３Ｇ１, 直线a∥b,点B 在直线b上,且AB⊥ BC,∠１＝５５°,求证:∠２＝３５°． 图１．３Ｇ１ 图１．３Ｇ２ 证明:如图１．３Ｇ２． 因为AB⊥BC, 所以∠ABC＝９０°, 所以∠１＋∠３＝ １８０°－∠ABC＝９０°． 因为∠１＝５５°, 所以∠３＝３５°． 因为a∥b, 所以∠２＝∠３＝３５°(两直线平行,同位 角相等)． 4 　　证明必须做到“言必有据”,每步 推理都要有依据,它们可以是定义、 基本事实、已经学过的定理、等式的 性质、等量代换等．在书写证明的过 程中,可以把依据写在每一步推理后 面的括号内． ８１ 知识点二　三角形的外角 及外角的性质 三角形外角的定义 由三角形一条边的延长线和另一条相 邻的 边 组 成 的 角 叫 做 该 三 角 形 的 外角． > M  A 三角形外角的性质 三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和． '. 　　(１)在三角形的每个顶点处都有 两个外角,这两个外角相等． 　　(２)三角形的外角等于与它不相 邻的两个内角的和,注意是“不相邻” 的两个内角． 　　(３)三角形外角的性质是由三角 形内角和定理推理得到的推论,可以 作为推理的依据．  由三角形外角的性质所得的结论 　　(１)三角形不共顶点的三个外角 的和等于３６０°． 　　(２)三角形的外角大于任何一个 和它不相邻的内角． 【例２】如图 １．３Ｇ３,在 △ABC 中,已知 ∠B＝４０°,∠BAC＝３２°,BC 边上的高 线为AD,求∠CAD 的度数． 图１．３Ｇ３ 解:因为∠B＝４０°,∠BAC＝３２°, 所以∠ACD＝∠B＋∠BAC＝４０°＋ ３２°＝７２°． 所以∠CAD＝１８０°－∠D－∠ACD＝ １８０°－９０°－７２°＝１８°． 4 　　在求角的度数时,常结合三角形 内角和定理及三角形外角的性质．由 三角形外角的性质可求得三角形以 外的有关角的度数,同时可利用外角 的性质比较角的大小． 知识点三　证明几何命题的 一般格式 证明几何命题时的表述格式 (１)按题意画出图形． (２)分清命题的条件和结论,结合图 形,在“已知”中写出条件,在“求证”中 写出结论． (３)在“证明”中写出推理过程． 辅助线 在解决几何问题时,有时需要添加辅 助线．添辅助线的过程要写入证明中． 辅助线通常画成虚线． '. 　　有些题目,已经画出图形,给出 了已知和求证,这时,只要写出证明 的过程即可． 【例３】求证:两条平行直线被第三条直 线所截,同位角的平分线互相平行． 解:已知:如图１．３Ｇ４,直线AB∥CD, ９１ 直线EF 分别交AB,CD 于点E,F, EH,FG 分别平分∠BEI,∠DFE． 图１．３Ｇ４ 求证:EH∥FG． 证明:因为直线AB∥CD(已知), 所以∠BEI＝∠DFE(两直线平行,同 位角相等)． 又 因 为 EH,FG 分 别 平 分 ∠BEI, ∠DFE(已知), 所以∠１＝ １ ２∠BEI ,∠２＝ １ ２∠DFE (角平分线的定义)． 所以∠１＝∠２(等量代换)． 所以EH ∥FG(同位角相等,两直线 平行)． 4 　　证明一个几何命题是真命题,首 先要分清命题的条件和结论,根据题 意画出图形,然后结合图形写出已知 和求证,最后进行证明． 类型一　利用三角形的内外 角关系求角的度数 【题 根 １】如 图 １．３Ｇ５,在 △ABC 中, ∠A＝９０°,∠ACB 的平分线交AB 于 点D,已知∠DCB＝２∠B．求∠ADC 的度数． 图１．３Ｇ５ 审题关键:已知 ∠A＝９０°,∠ACD ＝ ∠DCB＝２∠B,则∠ACB 可用∠B 表示出来．根据三角形内角和定理求 出∠B 的度数,从而可求∠ADC 的 度数． 解:因为 CD 平分 ∠ACB,∠DCB＝ ２∠B(已知), 所以∠ACD＝∠DCB＝２∠B(角平 分线的