1.3 一元二次方程的根与系数的关系-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（苏科版）

1.3一元二次方程的根与系数的关系 【推本溯源】 1.观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ x1 x2 x1 +x2 从上图发现，如果一元二次方程的根是、，那么=__ _，=__ _. 证明：因为当时，方程的根是 ， _ ,所以，=__ _； =__ __. 因此，如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，.注意它的使用条件为 .也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的推论 推论1：如果方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1*x2= ； 推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 3.根与系数的应用 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩ 【解惑】 例1：若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 例2：下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有　　 ①若，则； ②若方程两根为和，则； ③若方程有一个根是，则． A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 例3：若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________． 例4：已知，是方程的两根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 例5：已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围； (2)若此方程的两根互为倒数，求的值． 【摩拳擦掌】 1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（         ） A． B． C． D． 2．（2023·河南周口·统考二模）已知和是方程的两个根，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·河北廊坊·校考三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个根的和是（    ） A．6 B．3 C． D． 4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　） A． ，1 B． ， C．3， D．3，1 5．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________． 6．（2023·湖南娄底·统考三模）已知，是方程的两个实数根，且，则______． 7．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，，若，则k的值为______． 8．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 9．（2023·上海·八年级假期作业）写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积 (1)，___________；___________； (2)，___________；___________． 10．（2023·上海·八年级假期作业）已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值． (1)； (2)． 11．（2023·上海·八年级假期作业）观察求根公式，求出的值，并用得到的结果求解：设、是方程的两个实数根，求的值． 12．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【知不足】 1．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2023·河南南阳·统考三模）若方程有一个根是1，则另一个根是（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2023·广东珠海·校考三模）已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（    ） A．0 B．−11 C．9 D．11 4．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 5．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a、b是方程的两根，