1.1-1.2 一元二次方程与一元二次方程的解法（一）-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（苏科版）

1.1-1.2一元二次方程与一元二次方程的解法（一） 【推本溯源】 1.用方程的关系表示 正方形的面积是4，设正方形的边长为x，表示它们之间的关系。 x²=4 2.认识一元二次方程 回顾一下一元一次方程的概念 一元一次方程：一个未知数，最高次数的为1的方程。 因此，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程三要素：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2. 3.一元二次方程的一般形。 一般形式 ax²+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0） 项及项的系数 二次项为ax²；二次项系数为a. 一次项为bx；一次项系数为b. 常数项为c. 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，右边为0. 4.一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0（a≠0，b≠0） a b 0 ax²+c=0 （a≠0，c≠0） a 0 c ax²=0 a 0 0 5.一元一次方程的解 概念 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 判断一个数是不是一元二次方程的根 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个返程的根。 6.一元二次方程的解法（一） 解x2=4（用平方根的方法） x=±2 于是我们知道一元二次方程x2=4有两个根，它们分别记为x1=2，x2=-2. 像这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开方法.形如（h、k为常数，k≥0）的一元二次方程，可以用直接开方法求解. 【解惑】 例1：下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程，②含有两个未知数，不是一元二次方程，③不是整式方程，不是一元二次方程，④当时，不是一元二次方程； 综上：是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是1个； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 例2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，， 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项． 例3：方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据直接开平方法可进行求解． 【详解】解：， ， 解得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 例4：已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解_____． 【答案】和 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为， ∴关于y的一元二次方程可得， 解得和． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 例5：用开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先方程两边同时乘以3，变形为，再开平方得，再解一元一次方程即可求解． （2）先把方程变形为，再开平方得，再解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 或， ，； （2）解： 或 ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 【摩拳擦掌】 1.（2023·江苏·九年级假期作业）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直接开平方解方程即可． 【详解】解：直接开平方得：， ∴方程的解为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查用直接开方法解一元二次方程，掌握如果方程化成的形式，那么可得是关键． 2．（2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（　　）