第04讲 二次函数与不等式-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第04讲：二次函数与不等式 【考点梳理】 考点一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 以二次函数为例： (1) 作出图象. (2)图象与轴的交点是，即当时，． 就是说对应的一元二次方程的两实根是． (3) 当时，，对应图像位于轴的上方． (4) 就是说的解是． 当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数. (2) 观察相应的二次函数的图象． ①如果图象与轴有两个交点， 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点， 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)： 取一切实数 无解 解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 考点二、简单分式不等式的解法 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))： . 考点三、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数． 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 1．解下列不等式： (1)；(2)；(3). 2．求解下列不等式的解集： (1)；(2)； (3)；(4)；(5). 3．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 题型二：一元二次不等式求参数 4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式的解集为或． (1)求a，b的值； (2)若，解关于的不等式． 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 7．已知使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，且的解集为. (1)求； (2)解关于的不等式 9．已知函数 (1)若函数在上单调递增，求实数m的取值范围； (2)若，解关于x的不等式． 题型四：一元二次方程根的分布问题 10．若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（    ） A． B． C．0 D．1 12．关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：一元二次不等式恒成立问题 13．关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 14．（1）解关于的不等式； （2）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 15．已知函数，． (1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【专题归纳】 一、单选题 16．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 17．已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 18．已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 22．已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 24．若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 25．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 26．若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，