第03讲 一元二次方程根与系数的关系-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第03讲：一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 考点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 考点二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 【题型归纳】 题型一：一元二次方程的根的判断式 1．关于x的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 3．在正比例函数中，的值随值的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 题型二: 判断式求参数问题 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　） A． B． C．0 D． 5．一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（    ） A． B． C．或3 D．或1 题型三：一元二次方程的根与系数的关系 7．已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（    ） A．0 B．−11 C．9 D．11 8．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（         ） A． B． C． D． 9．设与为一元二次方程的两根，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型四：根和系数与判别式的综合应用 10．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围； (2)若此方程的两根互为倒数，求的值． 12．已知关于x的方程，其中p，q都是实数． (1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值． (2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值． (3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由． 【专题突破】 一、单选题 13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 16．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 17．对于实数a，b定义运算“※”为，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 18．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 19．已知m、n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 20．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是(    ) A． B． C． D． 21．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 22．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 23．若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为(    ) A．11 B． C．11或 D．11或或1 24．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D．3 二、填空题 25．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________． 26．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，，若，则k的值为______． 27．关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________； 28．已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________． 29．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 三、解答题 30．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数