6.8 余角和补角-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（浙教版)

数学　七年级　上册 ２４４　 0  0 ６．８　余角和补角 (１)互余的角和互补 的角 反 映 了 角 的 数 量 关 系,与位置无关． (２)互余和互补是两 个角之间的关系,若三个 或三 个 以 上 的 角 的 和 为 ９０°或１８０°,则它们不能称 为互余或互补． (３)只有锐角才有余 角,一个角的余角一定是 一个锐角;锐角、直角、钝 角都有补角,锐角的补角 是一个钝角,直角的补角 是直角,钝角的补角是一 个锐角． 当互补的两个角 有 公 共 顶点,且有一边互为反向延长 线时,称这两个角互为邻补角 (简 称 邻 补 角)．如 图６．８Ｇ２, ∠１与∠２互为邻补角． 21 图６．８Ｇ２ 知识点一　余角和补角的概念 项目 余角 补角 文字 语言 如果两个锐角的和是一个直 角,就说这两个角互为余角, 简称互余,也可以说其中一 个角是另一个角的余角 如果两个角的和是一个 平角,就说这两个角互为 补角,简称互补,也可以 说其中一个角是另一个 角的补角 符号 语言 若∠１＋∠２＝９０°,则∠１叫 做∠２的余角,∠２也叫做 ∠１的余角,∠１和∠２互余 若∠３＋∠４＝１８０°,则 ∠３叫做∠４的补角,∠４ 也叫做∠３的补角,∠３ 和∠４互补 图示 1 2 43 D O C ABF 图６．８Ｇ１ 【例 １】 如 图 ６．８Ｇ１,∠BOC ＝ ∠BOD＝９０°,OA,OF 分别是 ∠BOC,∠BOD 的平分线．写出 ∠AOC 的余角和补角． 解 因为OA,OF 分别是∠BOC, ∠BOD 的平分线, 所以∠AOC＝∠AOB＝ １ ２∠BOC＝４５° ,∠FOB＝ ∠FOD＝ １ ２∠BOD＝４５°． 所以∠AOD＝１３５°,∠COF＝１３５°． 根 据 余 角 和 补 角 的 定 义,得 ∠AOC 的 余 角 是 ∠AOB,∠FOB,∠FOD,补角是∠AOD,∠COF． 第６章　图形的初步知识 ２４５　 0  0 知识点二　余角和补角的性质 １．余角的性质:同角或等角的余角相等． ２．补角的性质:同角或等角的补角相等． 【例２】如图６．８Ｇ３,∠AOD＝∠BOD＝∠COE＝９０°． A B E D O C 图６．８Ｇ３ (１)请指出图中互余的角和互补的角(除直角外)． (２)图中除直角外还有哪些角相等? 请说明理由． 解 (１)互 余 的 角 有∠AOC 与 ∠COD,∠AOC 与 ∠BOE,∠COD 与∠DOE,∠DOE 与∠BOE． 互补 的 角 有∠AOC 与∠BOC,∠DOE 与∠BOC, ∠COD 与∠AOE,∠BOE 与∠AOE． (２)相等的角还有∠AOC＝∠DOE,∠COD＝∠BOE． 理由:因为∠AOD＝∠COE＝９０°, 所以∠AOC＋∠COD＝９０°,∠DOE＋∠COD＝９０°, 所以∠AOC＝∠DOE(同角的余角相等)． 同理,∠COD＝∠BOE． 知识点三　方向角(拓展) １．方向角 平面测量时,通常以正北、正南方向为基准,描述物体 运动的方向,这种表示方向的角叫做方向角．在测绘、 航海中经常用到． ２．用方向角表示 60°30° O A BC >   图６．８Ｇ４ 与地图上的方向相同,在平面图上方 向为“上北、下南、左西、右东”． 如图６．８Ｇ４,北偏东６０°的“偏”相当于 “旋转”,就是以正北方向的射线为角 的始边,绕端点O 向指示东的方向旋 转６０°到射线OA 所指方向． 射线OC 表示北偏西３０°方向．   > M >0>+=UU >,0A>,0
+*" 如图６．８Ｇ５,东 北 方 向、西北方向、东南方向、 西南 方 向 分 别 指 北 偏 东 ４５°、北 偏 西４５°、南 偏 东 ４５°、南偏西４５°． 45° 45° 45°45° >  > >   图６．８Ｇ５ 数学　七年级　上册 ２４６　 0  0 (１)叙述方向角时,先说 南北,再说东西,最后说度数． 如南偏西３０°,一般不说西偏 南６０°． (２)方向角的度数为两条 射线夹角的度数． 【例３】如图６．８Ｇ６所示,请在图上画出南偏西６０°的射 线和表示东南方向的射线,射线OA 表示的方向怎样 叙述? 30°O A >   图６．８Ｇ６ 　　　　 60° 30° 45° O A B C >   图６．８Ｇ７ 解 如图６．８Ｇ７所示,表示南偏西６０°的射线为OB,表 示东南方向的射线为OC,射线OA 表示的方向为北 偏东６０°． 4 “两步法”确定方向角 第１步:确定正南或正北方向; 第２步:确定射线向东或向西偏转的度数． 常考题型解读 １．若一个锐角的余角的补角 比这个锐角的补角的一半 多１２°,求这个锐角的度数． 题型一　余角、补角的综合应用 【例１】已知∠A 与∠B 互余,∠A