3.1 平方根-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（浙教版)

８９　 0  0   第３章　实　数 ３．１　平方根 知识点一　平方根 １．平方根 平方根 内容 示例 概念 一般地,如果一个数的平方 等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次 方根．这就是说,如果x２＝ a,那么x 叫做a 的平方根 因为(±２)２＝４, 所以 ±２ 是 ４ 的 平 方根 表示 方法 一个 正 数 a 的 平 方 根 用 “± a”表示,读做“正、负根 号a”,其中a 叫做被开方数 ５的平方根是± ５ 性质 (１)一个正数有正、负两个平 方根,它们互为相反数; (２)０的平方根是０; (３)负数没有平方根 (１)９ 的 平 方 根 是 ±３; (２)０的平方根是０; (３)－２５没有平方根 ２．开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:求一个数的平方根可以通过求某数的平方等 于这个数来求,还可以通过平方运算检验一个数是 否为另一个数的平方根． 【例１】下列各数有平方根吗? 如果有,请求出它的平方 根;如果没有,请说明理由． (１)１４４;　(２)(－３)２;　(３)－４２;　(４)２ ７ ９ ; (５)１７． U F6 !U + E 开平方与平方 互 为 逆 运 算．开平方与加、减、乘、除、乘 方一样,是一种运算． 数学　七年级　上册 ９０　 0  0 !a a
0 + U"+ E*
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 被开 方 数a(a＞０) 的小 数 点 的 位 置 每 向 左 (或向右)移动两位,平方 根± a的小数点的位置 就相应 地 向 左(或 向 右) 移动一位． 0 C+   解 (１)有．因为１４４＞０,所以１４４有两个平方根． 又因为(±１２)２＝１４４,所以１４４的平方根是±１２, 即± １４４＝±１２． (２)有．因为(－３)２＝９＞０,所以(－３)２ 有两个平方根． 又因为(±３)２＝９,所以(－３)２ 的平方根是±３, 即± (－３)２＝±３． (３)没有．理由:因为－４２＝－１６＜０, 所以－４２ 没有平方根． (４)有．因为２ ７ ９＝ ２５ ９＞０ ,所以２ ７ ９ 有两个平方根． 又因为 (± ５ ３) ２ ＝ ２５ ９ ,所以２ ７ ９ 的平方根是± ５ ３ , 即± ２ ７ ９＝± ５ ３． (５)有．因为１７＞０,所以１７有两个平方根,１７的平方 根是± １７． 　　 求一个数的平方根的三点注意 (１)求一个正数的平方根,不能只考虑正的平方 根而把负的平方根遗漏． (２)如果被开方数为 带 分 数,要 先 把 它 化 成 假 分数． (３)若一个正数a 不能写成一个数的平方的形 式,则可以将a 的平方根直接表示为± a． 知识点二　算术平方根 概念 表示方法 性质 正数的正平方 根称为算术平 方 根,０ 的 算 术平方根是０ 一个数a(a≥ ０)的算术平方 根记做“a”, 读做“根号a” (１)正数的算术平方根是 正数; (２)负数没有算术平方根; (３)０的算术平方根是０ 【例２】求下列各数的算术平方根: (１)３;　(２)０．４９;　(３)２ １ ４ ;　(４)(－５)２． 第３章　实　数 ９１　 0  0 解 (１)因为当a≥０时,a 的算术平方根记做 a, 所以３的算术平方根是 ３． (２)因为０．７２＝０．４９,所以０．４９的算术平方根是０．７, 即 ０．４９＝０．７． (３)因为２ １ ４＝ ９ ４ ,( ３ ２) ２ ＝ ９ ４ , 所以２ １ ４ 的算术平方根是 ３ ２ ,即 ２ １ ４＝ ３ ２． (４)因为(－５)２＝２５,５２＝２５, 所以(－５)２ 的算术平方根是５,即 (－５)２＝５． 4 　　(１)a具有双重非负性: ①被开方数a 是非负数,即a≥０; ②非负数a 的算术平方根是非负数,即 a≥０． (２)求一个数a 的算术平方根的运算实际上可以 转化为求一个非负数的平方等于a 的运算． 知识点三　平方根与算术平方根的区别与联系 项目 算术平方根 平方根 区 别 个数 不同 一个正数的算术平方 根只有一个 一个 正 数 的 平 方 根 有两个 表示方 法不同 正数 a 的算术平方 根表示为 a 正数a 的平方根表 示为± a 取值范 围不同 正数的算术平方根一 定是正数 正数 的 平 方 根 一 正 一负,互为相反数 联 系