专题02 换元法解一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题02 换元法解一元二次方程 先阅读，再解题：解方程． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，； 当时，即，解得，当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程：． 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， (1)请你用换元法对多项式进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：． 解下列方程： (1)； (2)． 阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值． (2)解方程． (3)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数为 ． 解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． (2)请利用上述这种方法解方程：． (3)应用求值：已知实数，满足，则_____． （1）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①②③④ （2）（材料阅读）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，即 ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．   （问题解决）请你根据“降次法”解决以下问题： 已知： ，且，求 的值． 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 【例题呈现】 关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是 ． 【解法探讨】 （1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： （2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“”看做第一个方程中的“x”，则“”的值为 ，从而更简单地解决了问题． 【策略应用】 （3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法解决如下问题：已知，求出的值． 一、单选题 1．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A． B． C． D． 2．已知，，且，则的值为（　　） A．4 B． C．或1 D．或4 3．如图，正方形内接于．已知和的面积分别是，和，，那么正方形的边长是（      ） A．1 B． C． D．2 4．已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．若实数m、n满足，则的值为（　　） A．2 B．6 C．6或﹣2 D．6或2 6．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 二、填空题 7．方程，则的值是______． 8．已知的解是1，，则方程的解为___________． 9．方程的解是，则方程的解是_______． 10．在利用方程，求时，嘉琪令则原方程转化为 _______________ ，聪明又谨慎的你可以利用得到的值为 _______________ ． 三、解答题 11．阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1)； (2)． 12．阅读下面的材料：某数学兴趣小组探究下面的方程解答方法，为解方程：，可以将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，解得，． 当时，，即，则； 当时，，即，则． 故原方程的解为：，，，． 上述解题方法，我们称之为换元法，请利用换元法解以下方程：． 13．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 14．阅读材