21.2 解一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

21.2 解一元二次方程 1.理解和运用直接开平方法解一元二次方程； 2.理解和运用配方法解一元二次方程； 3.理解和运用公式法解一元二次方程； 4.理解和运用因式分解法解一元二次方程。 一、直接开平方法 1.直接开平方法定义 我们知道，若x²=25，则 即x=±5。像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 2.理论依据 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。由平方根的定义可知：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 3.用直接开平方法解一元二次方程的步骤 ①将方程转化成(x+m)²=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。 ②当n≥0时，两边开平方便可求出它的根。当n<0时，方程无实数根。 【理解和拓展】直接开平方法实际是求一个数的平方根的运算。特别注意方程两边开平方时，一边要取“±”号，以防漏解。 解关于的方程： ． 1．解关于的方程：． 2．解关于的方程：． 二、 配方法 1.配方法的定义：先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法来求解的方法。 2.配方法解一元二次方程的依据：用配方法解一元二次方程是以完全平方公式a²±2ab+b²=( a±b)²与直接开平方法为依据，将方程加以变形，从而获得其解的一种方法，这种方法适合于解任何类型的一元二次方程。 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤 ①把一元二次方程化为一般形式ax²+bx+ c=0( a≠0)。 ②移项：把常数项移到方程的右边。 ③系数化为1：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1。 ④配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程写成(x±m)²=n的形式。 ⑤直接开平方：若n≥0，即可用直接开平方法进行求解；若n<0，方程无实数根。 【理解与拓展】配方法的依据是完全平方公式。 ①当一元二次方程的二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 ②当一元二次方程的二次项系数不为1时，应先将二次项系数化为1，再进行配方；或者将二次项看作一个整体，转化成关于这个整体的系数为1的一元二次方程进行配方。如：解方程4x²+4x= 1时，将4x²看作(2x)²，转化为( 2x)²+2( 2x) =1 ，可在方程两边直接加1，得( 2x+ 1 )²=2，这样配方更简便。 用配方法解方程：． 1．解方程：． 2．解方程：． 阅读下面的材料并解答后面的问题： 小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能，求解过程如下： 因为 ， 而， 所以的最小值是． 问题：你能否求出的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程． 1．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 2．阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为　 　； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)已知：，求代数式的值． 三、公式法 1.公式法求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程ax²+ bx+ c=0( a≠0)，当b² -4ac ≥ 0时，它的根是x= 这个式子称为一元二次方程的求根公式。 2.求根公式的推导：一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式方程ax² + bx + c = 0(a≠0)的过程。具体推导过程如下： 因为a≠0，所以在方程两边同除以a，得 移项得 方程两边同加上 得 即 因为4a²>0，所以当b²-4ac≥0时， 可得 所以 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 3.用公式法解一元二次方程的一般步骤 ①将方程化为一般形式ax²+bx+ c=0( a≠0)，确定a，b，c的值。 ②计算b²-4ac的值，从而确定原方程是否有实数根。 ③若b²-4ac≥0，则把a，b，c及b²-4ac的值代入求根公式，求出x₁，x₂；若b²-4ac< 0，则方程没有实数根。 【理解和拓展】①求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用。 ②“b²-4ac≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b²-4ac<0时，方程没有实数根。 ③用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a、b，c的值，并注意它们的符号。 ④当b²-4ac=0时，应把方程的根写成x2= 从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根。 4. 一元二次方程的根的判别式 (1)一元二次方程a