专题03 一元二次方程的判别式以及根与系数的关系-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题03 一元二次方程的判别式以及根与系数的关系 已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 已知，关于的一元二次方程， (1)若，求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值． 实数，满足. (1)验证，是否满足上述等式； (2)若，，佳佳认为一定存在两个不同的的值使得成立，你认为佳佳的说法正确吗？请说明理由. 已知关于的方程． (1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 关于的一元二次方程有两个不相等实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 若是一元二次方程（为常数）的两个根，则，．这个定理叫做书达定理． 如：是方程的两个根，则、 已知：M、N是方程的两根，记；， (1)__________， __________；（直接写出答案） (2)当且为整数时，猜想之间有何关系？并证明． (3)利用（2）猜想求的值． 已知关于x的方程，其中p，q都是实数． (1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值． (2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值． (3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由． 关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中． (1)求证此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根是、，且，求． 一、单选题 1．定义运算：对任意实数，，总有，例如：，则方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 2．若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（　　） A．1 B．3 C． D．4 3．若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 4．已知方程的两根分别为，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 5．已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（    ） A． B． C．或3 D．或1 6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 8．下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 9．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是______． 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________． 11．如果关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的是有__________． 12．设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为__________． 13．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）． 14．将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______． 三、解答题 15．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 17．已知． (1)化简； (2)若、是关于的方程的两个实数根，求的值． 18．阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______． 19．已知关于的方程有实数根． (1)