第2章 圆 章末整合提升-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①I　②H　③H　④A　⑤K　⑥C　⑦G　⑧G　⑨B　⑩H　􀃊􀁉􀁓F　􀃊􀁉􀁔J 􀃊􀁉􀁕H　􀃊􀁉􀁖D　􀃊􀁉􀁗E　􀃊􀁉􀁘H ７５１ 考点一　垂径定理及其推论 垂径定理的基础是圆的对称性,它 是计算线段的长度、证明线段相等的重 要依据,同时也能得出弧相等．在应用垂 径定理时,常利用半径、弦的一半、圆心 到弦的垂线段构造直角三角形,结合勾 股定理进行有关的证明或计算． 例１一条排水管的截面如图２Ｇ１所示,已 知排水管的半径OA 为１m,水面宽 AB 为１．２m,某天下雨后,水管水面上 升了０．２m,则此时排水管水面宽CD 等于 m． 图２Ｇ１ 　　　 图２Ｇ２ 解析:如图２Ｇ２,连接 OD,OB,作 OE⊥ AB,垂足为E,与CD 交于点F． 由题意,知OB＝１m,EB＝０．６m,根 据勾股定理,得OE＝０．８m． 因为EF＝０．２m, 所以OF＝０．６m． 在 Rt△ODF 中,OF＝０．６ m,OD ＝ １m, 所以FD＝ OD２－OF２ ＝ １－０．６２ ＝ ０．８(m), 所以CD＝１．６m． 答案:１．６  垂径定理及其推论的四个应用 (１)计算线段的长度:常构造直角三角 形,结合勾股定理进行计算; (２)证明线段相等:根据垂径定理平分 线段推导线段相等; (３)证明等弧; (４)证明垂直:根据垂径定理的推论证 明线段互相垂直． 考点二　与圆心角、圆周角有关的计算 圆周角定理及其推论系统说明了圆 中的角的关系:(１)等弧所对的圆周角相 等;(２)同弧或等弧所对的圆周角是圆心 角的一半;(３)直径所对的圆周角为直角; (４)圆内接四边形对角互补．这些关系是在 圆中求角的基础． 例２(四川眉山中考)如图２Ｇ３,A,D 是 ☉O 上的两个点,BC 是直径．若∠D＝ ３２°,则∠OAC 等于 (　　) 图２Ｇ３ A．６４° B．５８° C．７２° D．５５° 解析:方法１:因为∠D＝３２°,所以∠AOC＝ ２∠D＝６４°．因为OA＝OC,所以∠OAC＝ １ ２× (１８０°－６４°)＝５８°．故选B． ８５１ 方法２:如图２Ｇ４①,连接AB,则∠B＝ ∠D＝３２°． 因为BC 为☉O 的直径,所以∠BAC＝ ９０°,所 以 ∠B＋ ∠ACB ＝９０°,所 以 ∠ACB＝５８°．因 为 OA ＝OC,所 以 ∠OAC＝∠ACB＝５８°．故选B． 　　　①　　　　　　　② 图２Ｇ４ 方法３:如图２Ｇ４②,延长AO 交☉O 于 点E．因为∠D＝３２°,所以AC ︵ 所对的圆 心角为６４°,因为 AE 为☉O 的直径, 所以ACE ︵ 所对的圆心角为１８０°,所以 CDE ︵ 所 对 的 圆 心 角 为 １１６°,所 以 ∠OAC＝５８°．故选B． 答案:B 例３ 如图２Ｇ５,圆内接四边形ABCD 两 组对边的延长线分别相交于点E,F, 且∠A＝５５°,∠E＝３０°,则∠F＝ 　． 图２Ｇ５ 解析:因 为 四 边 形 ABCD 是 圆 内 接 四 边形, 所以∠ECD＝∠A＝５５°． 因为∠E＝３０°, 所以∠EDC＝１８０°－∠E－∠ECD＝ ９５°, 所以∠CBA＝∠EDC＝９５°． 又因为∠BCF＝∠ECD＝５５°, 所以∠F＝∠CBA－∠BCF＝４０°． 答案:４０°  利用圆周角定理及其推 论解题时常用的思路 (１)在同圆或等圆中,要证明弧相等, 考虑 证 明 这 两 条 弧 所 对 的 圆 周 角 相等． (２)在同圆或等圆中,要证明圆周角相 等,考虑证明这两个圆周角所对的弧 相等． (３)当有直径时,常利用直径所对的圆 周角为直角解决问题． 考点三　切线的判定与性质 　　运用切线的性质时,常常作“过切点 的半径”,构造直角三角形,利用勾股定 理解决相关问题． 　　判定一条直线是圆的切线时,若已 知点在圆上,则“连半径,证垂直”;否则 “作垂直,证半径”． 例４(甘肃白银中考)如图２Ｇ６,在△ABC 中,AB＝AC,点 D 在BC 上,BD ＝ DC,过点 D 作DE⊥AC,垂足为 E, ☉O 经过A,B,D 三点． (１)求证:AB 是☉O 的直径; (２)判断DE 与☉O 的位置关系,并加 以证明; ９５１ (３)若☉O 的半径为３,∠BAC＝６０°, 求DE 的长． 图２Ｇ６ 　　　　 图２Ｇ７ (１)证明:如图２Ｇ７,连接AD． 因为在△ABC 中,AB＝AC,BD＝DC, 所以AD⊥BC, 所以∠ADB＝９０°, 所以AB 是☉O 的直径． (２)解:DE 与☉O 相切． 证明:如图２Ｇ８,连接OD, 因为AO＝BO,BD＝DC, 所以OD 是△BAC 的中位线, 所以OD∥AC．