3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

３．２　直棱柱、圆锥的侧面展开图 知识点一　直棱柱的有关概念及直棱柱的特点 直棱柱的有关概念 如图３．２Ｇ１所示的几何体称为直棱柱,其中“棱”是指 两个面的公共边． 图３．２Ｇ１ 直棱柱具有的特征 (１)有两个面互相平行,称它们为底面; (２)其余各个面均为矩形,称它们为侧面; (３)侧棱(指两个侧面的公共边)垂直于底面． 直棱柱的命名 根据底面图形的边数,将直棱柱分别称为直三棱柱、 直四棱柱、直五棱柱、直六棱柱等．例如,长方体和正 方体都是直四棱柱． 正棱柱 底面是正多边形的棱柱叫作正棱柱 图３．２Ｇ２ 【例１】在如图３．２Ｇ２所示的直五棱柱中,侧棱长 为６cm,底面边长都是４cm． (１)这个直五棱柱共有多少条棱? 它们的长是 多少? (２)这个直五棱柱共有多少个面? 它们分别是什么形 状? 哪些面的形状是相同的? 解:(１)共有 １５ 条棱,其中 ５ 条是侧棱,侧棱长度是 ６cm,其他的棱长都等于底面边长,其长度都是４cm． (２)共有７个面,其中上、下两个底面是形状完全相同 的五边形,其他５个侧面是形状完全相同的矩形． (１)直棱柱的两个底面是全 等的多边形． (２)直 棱 柱 的 侧 面 都 是 矩 形,相 邻 的 棱 互 相 平 行 且 相等． (３)直棱柱的侧棱必须与底 面垂直,侧棱与底面不垂直 的棱柱不是直棱柱． (４)直棱柱的侧棱数、侧面 数都等于底面的边数． 一个直n 棱柱有２个底面, n 个侧面,共(n＋２)个面, ３n 条棱(其中侧棱有n 条, 上、下底面与侧面的相交处 各有 n 条 棱),２n 个 顶 点 (棱与棱的交点称为顶点)． ３７１ 沿棱柱表面不同的棱剪开, 可得到不同组合方式的表 面展 开 图,以 直 三 棱 柱 为 例,如图３．２Ｇ４所示,①②③ 依次为沿不同棱剪开而得 到的三棱柱表面展开图． ① 　 ② ③ 图３．２Ｇ４ 特别 地,如 图 ３．２Ｇ４③．直 棱柱的表面展开图中的侧 面不一定是一个完整的大 长方形,也可以将多个小 长方形分散开． 知识点二　直棱柱的侧面展开图 直棱柱的侧面展开图 (１)将直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开,可以展开成 平面图形,像这样的平面图形称为直棱柱的侧面展开 图,如图３．２Ｇ３是一个直四棱柱的侧面展开图． 图３．２Ｇ３ (２)直棱柱的侧面展开图是一个矩形,这个矩形的长 是直棱柱的底面周长,宽是直棱柱的侧棱长(或直棱 柱的高)． 直棱柱的侧面积 直棱柱的侧面积可以利用其侧面展开图是矩形来求, 即直棱柱的侧面积＝直棱柱的底面周长×侧棱长(或 直棱柱的高)． 【例２】下列四个图形中,是直四棱柱的表面展开图的是 (　　) A 　 B 　 C 　 D 解析:直四棱柱的表面展开图由两个相同的四边形和一 个大长方形(由四个小长方形组成)组成,且两个四边 形在大长方形的两侧,符合条件的直四棱柱的表面展 开图只有 D． 答案:D 　判断直棱柱表面展开图的策略 一般地,直棱柱的表面展开图由两个相同的多边 形和一个大长方形(由多个小长方形组成)组成,两个 多边形的边数与组成大长方形的小长方形的个数相 同,且在大长方形的两侧． ４７１ 知识点三　圆锥的有关概念 圆锥的有 关概念 内容 图示 圆锥 由一个底面和一个侧面围成的 图形,它的底面是一个圆 高 连接顶点与底面圆心的线段 母线 圆锥顶点与底面圆上任意一点 的连线段 【例３】若圆锥的底面圆的半径为５cm,高为１２cm,母 线长为　　　　cm． 解析:因为圆锥的底面圆的半径、高和母线可以构成一 个以 母 线 为 斜 边 的 直 角 三 角 形,所 以 母 线 长 为 ５２＋１２２ ＝１３(cm)． 答案:１３ 知识点四　圆锥的侧面展开图 图３．２Ｇ６ 　(１)把圆锥沿它的一条母线剪开,它的侧面 可以展开成平面图形,像这样的平面图形 称为圆锥的侧面展开图,如图３．２Ｇ６所示． (２)圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇 形的半径是圆锥的母线长AB,弧长是圆 锥底面圆的周长． 【例４】(四川自贡中考)圆锥的底面半径为４cm,高为 ５cm,则它的表面积为 (　　) A．１２πcm２　　　　　　　　 B．２６πcm２ C．４１πcm２ D．(４４１＋１６)πcm２ 解析:因为圆锥的底面半径为４cm,高为５cm,所以圆锥的母 线长为 ４１cm,所以圆锥的侧面积为S侧＝π×４× ４１＝ ４ ４１π(cm２)．又因为圆锥的底面积为π×４２＝１６π(cm２), 所以圆锥的表面积为(４ ４１＋１６)πcm２． 答案:D (１)圆锥的母线有无数条, 并且圆锥母线长都相等． (２)圆锥的母线l、高h、底 面圆的半径r 组成一个直 角三 角 形,满 足h２ ＋r２ ＝ l２．已知h,r,l中任意两个 量,都可以求出第三个量, 如图３．２Ｇ５所示． 图３．