2.7 正多边形与圆-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

２．７　正多边形与圆 知识点一　正多边形及圆内接正多边形的概念 正多边形 各边相等,各内角也相等的多边形叫作正多边形． 圆内接正多边形 将一个圆n(n≥３)等分,依次连接各等分点所得的多 边形叫作这个圆的内接正多边形,这个圆是这个正多 边形的外接圆,正多边形的外接圆的圆心叫作正多边 形的中心． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)正多边形与圆的关系非常密切,只要把一 个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接 正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆． (２)任意三角形都具有外接圆和内切圆,只有正三角 形的外接圆和内切圆是同心圆． 图２．７Ｇ１ 【例１】如图２．７Ｇ１所示,五边形ABCDE 内 接于☉O,且AB＝BC＝CD＝DE＝EA, 求证:五边形ABCDE 为正五边形． 证明:因为五边形ABCDE 内接于☉O, 且AB＝BC＝CD＝DE＝EA, 所以AB ︵ ＝BC ︵ ＝CD ︵ ＝DE ︵ ＝EA ︵, 所以点A,B,C,D,E 将☉O 五等分, 所以五边形ABCDE 为正五边形． 证明多边形是正多边形的方法 相邻分点间的弧相等,则所对的弦(多边形的边) 相等,相邻两弦所夹的角(多边形的内角)也相等,因 此证明多边形是正n 边形时,只需证明圆被多边形的 顶点n 等分即可． “各边相等,各内角也相等” 是正多边形的两个基本特 征,两者缺一不可,否则多 边形就不是正多边形．如菱 形的各边相等,但各角不一 定相等;矩形的各角相等, 但各边不一定相等,所以它 们都不一定是正多边形． 将圆分成n 等份,经过各分 点作圆的切线,以相邻切线 的交点为顶点的多边形称 为圆的外切正n 边形,此时 圆叫作正n 边形的内切圆． 特别注意:任意多边形(边 数大于３)不一定有外接圆 和内切圆,但任何正多边形 都有一个外接圆和一个内 切圆,这两个圆是同心圆． ５４１   > M 在解决与正多边形有关概 念的计算时,通过作正多 边形的半径和边心距,把 正n 边形分成２n 个直角 三角形,再利用勾股定理 即可． 如图２．７Ｇ２,在Rt△OAM 中, 图２．７Ｇ２ OA２ ＝ OM２ ＋ AM２,即 R２＝r２＋ ( a ２ ) ２ ,其 中 R 为正多 边 形 的 半 径,r 为 正多边 形 的 边 心 距,a 为 正多边形的边长． 正六边形的边长等于其外 接圆的半径,正三角形的 边长等于其外接圆半径的 ３倍,正方形的边长等于 其外接圆半径的 ２倍． 正多边形的有关概念(拓展) 名称 定义 图示 正多边形 的半径 正多边形外接圆的半径 正多边形 的中心角 正多边形每一边所对的圆 心角 正多边形 的边心距 正多边形的中心到正多边 形的一边的距离 【例２】已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长、边 心距． 解:如图２．７Ｇ３,连接 OA,OB,过点 O 作OM ⊥AB 于 点M． 图２．７Ｇ３ 在Rt△AOM 中,因为正六边形的中心角为６０°,所以 ∠AOM＝３０°,所以OA＝２AM． 因为AB＝２AM, 所以AB＝OA＝R． 在Rt△OAM 中,由勾股定理,得 OM＝ R２－ ( １ ２R ) ２ ＝ ３ ２R． 即正六边形的边长为R,边心距为 ３ ２R． 构造特殊三角形解正多边形 在解决有关正六边形和正方形的计算时,往往作 相邻两条半径使其与边分别构成等边三角形和等腰 直角三角形,然后与勾股定理、垂径定理等联系起来 综合求解． ６４１ 知识点二　正多边形的画法 　在半径为r 的圆中,要作正n 边形,只要把半径为r 的圆n 等分,然后顺次连接各等分点即可． 关键 在圆中,根据相等的圆心角所对弧相等,将圆分成n等份 方法 用量 角器 等分 圆 首先用量角器画一个 ３６０° n 的圆心角,这个角所对的弧 就是圆的 １ n ,然后在圆上依 次截取与这条弧相等的弧, 就得到圆的n 等分点,依 次连接n 等分点,就得到 半径为r的正n 边形 用尺 规等 分圆 正四 边形 在☉O 中 用 直 尺 和 圆规作出两条相互垂 直的直径,将圆四等 分,可作出正四边形 正六 边形 先画☉O 的任意一条 直径AB,再分别以点 A,B 为圆心,以☉O 的 半径r为半径