2.6 弧长与扇形面积-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

２．６　弧长与扇形面积 知识点一　弧长公式 半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长l为l＝ n ３６０ 􀅰 ２πr＝ nπr １８０． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:在利用弧长公式计算弧长时,公式中的n 和１８０ 都不带单位“°”． 【例１】如图２．６Ｇ１,圆上一段弧所对的圆心角为９０°,所在圆 的半径为２,则该弧的弧长是　　　　(结果保留π)．  c 图２．６Ｇ１ 解析:因为弧所对的圆心角为９０°,所在圆的半径为２, 所以该弧的弧长为l＝ nπr １８０＝ ９０×π×２ １８０ ＝π． 答案:π 　　正确记忆弧长公式是计算弧长的前提,准确确定弧 所对的圆心角和弧所在圆的半径是计算弧长的关键． 知识点二　扇形及其面积公式 扇形 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成 的图形叫作扇形． 如图２．６Ｇ２,AB ︵ 与半径OA,OB 围成的图形是扇形, (１)若圆心角的单位不全是 度,一定要把分和秒全部转 化为度,再进行计算． (２)l 表 示 弧 长,它 的 单 位 与半径r的单位一致． (３)在计算时,若题目中没 有精确度的要求,则结果保 留π． (４)因为弧长与所在圆的半 径和弧所对的圆心角有关, 所以所对圆心角度数相等 的弧长不一定相等,弧长相 等的弧不一定是等弧．   > M ３３１ 扇形的面积公式可类比三 角形的面积公式记忆． 由弦和它所对的弧(包括 劣弧、优弧、半圆)组成的 图形 是 弓 形．弓 形 的 面 积 可以转化为扇形与三角形 面积的和或差． 记作扇形OAB;ACB ︵ 与半径OA,OB 围成的图形也是 扇形,记作扇形OACB． 图２．６Ｇ２   > M 扇形的面积公式 (１)S扇形＝ nπr２ ３６０ ,其中扇形的圆心角为n°,半 径为r． (２)S扇形 ＝ １ ２lr ,其中扇形的弧长为l,半径为r． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)扇形面积公式中的“n”与弧长公式中的 “n”的意义是相同的,参与计算时不带单位． (２)对于扇形的面积公式,关键是要理解圆心角为 １°的扇形面积是圆面积的 １ ３６０． 【例２】(１)(四川宜宾中考)半径为６,圆心角为１２０°的扇 形的面积是 (　　) A．３π　　　　B．６π　　　　C．９π　　　　D．１２π (２)已知扇形的半径为３cm,扇形的弧长为πcm,则该 扇形的面积是 cm２． 解析:(１)S扇形 ＝ nπr２ ３６０＝ １２０×π×６２ ３６０ ＝１２π． (２)S扇形 ＝ １ ２lr＝ １ ２×３π＝ ３ ２π (cm２)． 答案:(１)D　(２) ３ ２π 根据条件,灵活选择公式计算扇形面积 (１)当已知半径r 和圆心角的度数n°求扇形的面积 时,选用公式S扇形 ＝ nπr２ ３６０． (２)当已知半径r 和弧长l求扇形的面积时,选用公式 S扇形＝ １ ２lr． ４３１ 题型一　弧长公式的应用 求弧长 【例１】(山西中考)如图２．６Ｇ３,在▱ABCD 中,AB 为 ☉O 的直径,☉O 与DC 相切于点E,与AD 相交于 点F,已知AB＝１２,∠C＝６０°,则FE ︵ 的长为 (　　) 图２．６Ｇ３ A． π ３　　 　B． π ２　 　　C．π　 　　D．２π 审题关键:先求出半径r和FE ︵ 所对圆心角的度数,再 由弧长公式l＝ nπr １８０ 求解． 解析:连接OE,OF(图略)． 因为AB 为☉O 的直径,AB＝１２,所以AO＝OB＝６． 因为☉O 与DC 相切于点E,所以∠OEC＝９０°． 在▱ABCD 中,AB ∥DC,∠A ＝ ∠C＝６０°,所 以 ∠AOE＝∠OEC＝９０°． 在△AOF 中,∠A＝６０°,AO＝FO, 所以△AOF 是等边三角形,即∠AOF＝６０°, 所以∠EO