2.5 直线与圆的位置关系-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

２．５　直线与圆的位置关系 知识点一　直线与圆的位置关系 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 定义 直线与圆恰好 有两个不同的 公共点,这时 这条直线与圆 相交 直线与圆只有 一个公 共 点, 这时这条直线 与圆相切 直线与圆 没有公共 点,这 时 这条直线 与圆相离 图形 公共点个数 ２ １ ０ 圆心到直线的 距离d 与半径 r的关系　　 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 总结 直线l 与☉O 相交⇔d＜r 直线l 与☉O 相切⇔d＝r 直线l 与 ☉O 相离 ⇔d＞r 【例１】在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝６cm,BC＝ ８cm,以点C 为圆心,r 为半径的☉C 与AB 所在直 线有怎样的位置关系? 为什么? (１)r＝４cm;　(２)r＝４．８cm;　(３)r＝５cm． 图２．５Ｇ１ 解:如图２．５Ｇ１,作CD⊥AB,垂足为D． 由勾股定理,得AB＝１０cm． 由三角形的面积,得 １ ２BC 􀅰AC＝ １ ２AB 􀅰CD,   > M (１)只有当直线是圆的切线 时,直线与圆的公共点才能 被称为切点． (２)直线与圆的位置关系与 点与圆的位置关系既有联 系,又 有 区 别．两 者 都 是 根 据d 与r 的大小关系来判 断图形的位置关系的,但前 者中的d 为圆心到直线的 距离,后者中的d 为点到圆 心的距离． (３)判断直线与圆的位置关 系有两种方法: ①根据直线与圆的公共点 个数来判断; ②根据圆心到直线的距离 d 与半径r 的大小关系进 行判断． ３１１ 一条直线只有同时满足定 理中的两个条件“经过半 径的外端”和“垂直于这条 半径”时,才是圆的切线, 千万不能只凭一个条件就 判 定 一 条 直 线 是 圆 的 切 线,如 图 ２．５Ｇ２ 所 示 的 直 线都不是圆的切线． 图２．５Ｇ２ 切线的三种判定方法 (１)利用位置关系:和圆只 有一个公共点的直线是圆 的切线; (２)利用数量关系:若圆心 到 某 直 线 的 距 离 等 于 半 径,则 这 条 直 线 是 圆 的 切线; (３)利用切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的 切线． 即 １ ２×８×６＝ １ ２×１０×CD , 解得CD＝４．８cm． (１)当r＝４cm 时,CD＞r,AB 所在直线与☉C 相离． (２)当r＝４．８cm 时,CD ＝r,AB 所在直线与 ☉C 相切． (３)当r＝５cm 时,CD＜r,AB 所在直线与☉C 相交． 知识点二　圆的切线的判定定理 切线的判定定理 文字语言 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线 符号语言 OA 是☉O 的半径 l⊥OA 于点A }⇒l是☉O 的切线 图示 图２．５Ｇ４ 【例２】(湖北黄石中考)如图２．５Ｇ４,☉O 的 直径为AB,点C 在圆周上(异于A,B), AD⊥CD． (１)若BC＝３,AB＝５,求AC 的长; (２)若AC 是∠DAB 的平分线,求证:直 线CD 是☉O 的切线． (１)解:因为AB 是☉O 的直径, 所以∠ACB＝９０°． 所以AC＝ AB２－BC２ ＝ ５２－３２ ＝４． (２)证明:因为AC 是∠DAB 的平分线, 所以∠DAC＝∠OAC． 因为OA＝OC, 所以∠OAC＝∠OCA． 所以∠DAC＝∠OCA．所以AD∥OC． 又因为AD⊥CD, 所以OC⊥CD． 所以直线CD 是☉O 的切线． ４１１ 【例 ３】如 图 ２．５Ｇ５,在 Rt△ABC 中,∠ABC ＝９０°, ∠BAC 的平分线交BC 于点D,以D 为圆心,DB 的 长为半径作☉D．求证:AC 与☉D 相切． 图２．５Ｇ５ 　　　　 图２．５Ｇ６ 证明:如图２．５Ｇ６,过点D 作DF⊥AC 于点F． 因为∠ABC＝９０°,所以DB⊥AB． 因为AD 平分∠BAC,所以BD＝DF, 所以AC 与☉D 相切． 选择合适方法,证明切线不用愁 (１)如果已知直线过圆上一点,那么连接这点和圆心, 得到半径,证明这条半径垂直于已知直线即可． (２)如果已知直线与圆没有明确的公共点,那么过圆心 作已知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径即可． 知识点三　切线的性质定理 切线的性质定理 文字语言 圆的切线垂直于过切点的半径 符号语言 OA 是☉O 的半径 l是过点A 的☉O 的切线}⇒OA⊥l 图示 图２．５Ｇ７ 【例 ４】如 图 ２．５Ｇ７,在 Rt△ABC 中, ∠C＝９０°,BC＝３,点 O 在 AB 上, OB＝２,以OB 长为半径的☉O 与AC 相切于点D,交BC 于点F,OE⊥BC, 则弦BF 的长为　　　　． 圆的切线的画法 已知☉O 和☉O 上一点A, 求作过点A 的☉O 的切线． 作法如下(如图２．５Ｇ３)