2.4 过不共线三点作圆-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

２．４　过不共线三点作圆 知识点一　确定圆的条件 条件 依据及作法 图示 结论 过一点 作圆 经过一个点 A 作圆,只 要以点A 以外的任意一 点为圆心,以这一点与点 A 的距离为半径作圆就 可以作出,这样的圆有无 数个 过两点 作圆 经过两个点A,B 作圆, 只要以与点 A,B 距离 相等的点为圆心,即以线 段AB 的垂直平分线上 任意一点为圆心,以这一 点与点A 或点B 的距离 为半径作圆就可以,这样 的圆有无数个 A B 过不在 同一条 直线上 的三点 作圆 经过不在同一条直线上的 三点A,B,C 作圆,圆心 到这三点的距离相等,因 此,圆心在线段 AB,BC 的垂直平分线的交点O 处,以OA(或OB,OC)为 半径可作出经过A,B,C 三点的圆,这样的圆有且 只有一个 不在同 一条直 线上的 三个点 确定一 个圆 【例１】图２．４Ｇ２是一块破损的圆形模板,木工师傅想要 把它复原,需要知道它的圆心,请你用所学的知识帮 助木工师傅解决这个问题． (１)三个点确定一个圆的前 提条件是“三个点不在同一 条直 线 上”．过 同 一 直 线 上 的三个点不能作圆． (２)“确定”的含义是“有且 只有”,即经过不在同一条 直线上的三个点能作且只 能作一个圆． 经过同一直线上的三点不能 作圆 不在同一条直线上的三个 点确定一个圆 要想过四点作圆,应先作出 经过不在同一条直线上的 三点的圆,若第四个点到圆 心的距离等于半径,则第四 个 点 在 圆 上,否 则 不 在 圆上． 如图２．４Ｇ１所示,点 D１ 到 圆心的距离等于半径,则点 D１ 在圆上;点D２,D３ 到圆 ３０１ 心的距离不等于半径,则 点D２,D３ 不在圆上． 图２．４Ｇ１   > M (１)“接”是说明三角形的 顶点与圆的关系,圆经过 三角形的各顶点或三角形 的各 顶 点 都 在 圆 上,而 “内”“外”是 相 对 位 置 关 系,是以一个图形为准,说 明另一个图形在它的里面 或外面． (２)因为任意一个三角形 的三个顶点都不在同一直 线上,所以任意一个三角 形都有外接圆,且只有一 个外接圆． (３)顺次连接圆上任意三 点,都可以得到圆内接三 角形,也就是说,一个圆有 无数个内接三角形． 　 图２．４Ｇ２ 　　　 A B C O l2 l1 图２．４Ｇ３ 解:如图２．４Ｇ３,在弧上任取三点A,B,C,连接AB,AC． 分别作AB,AC 的垂直平分线l１,l２,两直线相交于点 O,则点O 就是该圆形模板的圆心． 破“镜”重圆问题———确定圆心的方法 　　对于已知圆上的某段弧,作出全部圆的问题,实 质上属于确定圆心的问题．解决此类问题的方法是在 圆弧上任意找三点,形成两条线段,则这两条线段的 垂直平分线的交点就是圆心,圆心到圆弧上任意点的 距离就是半径,圆心和半径确定了,圆就可以轻松画 出来了． 知识点二　三角形的外接圆 有关概念 有关概念 定义 图示 三角形的 外接圆与 圆的内接 三角形 经过三角形各顶点的圆叫 作这个三角形的外接圆, 这个三角形叫作这个圆的 内接三角形．☉O 是△ABC 的外接圆,△ABC 是☉O 的内接三角形 三角形 的外心 三角形的外接圆的圆心, 同时是三角形三条边的垂 直平分线的交点．点O 是 △ABC 的外心 三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,等于其 外接圆的半径． ４０１ 【例２】如图２．４Ｇ４,某公园有一个三角形花坛,三角形的 顶点A,B,C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛 扩建成一个圆形花坛,要求三棵古树不能移动,且三 棵古树位于圆周上,请你只用直尺和圆规在原图上画 出你所设计的圆形花坛的示意图,不写作法但保留作 图痕迹． 图２．４Ｇ４ 　　　　 　　　　图２．４Ｇ５ 解:如图２．４Ｇ５,△ABC外接圆的圆心为三角形三边的垂直平 分线的交点,因此作出AB 和BC的垂直平分线,两条垂直 平分线的交点O 即为外接圆的圆心,以O 为圆心,以OA 为半径作圆即为所求作的圆形花坛的示意图． 作三角形外接圆的三点注意 (１)只需作出三角形中两条边的垂直平分线即可确定 圆心,不必将三条边的垂直平分线全部作出． (２)作图过程中,要注意保留作图痕迹． (３)注意写出结论． (１)锐角三角形的外心在三 角形的内部; (２)直角三角形的外心是斜 边的中点; (３)钝角三角形的外心在三 角形的外部． 因此可由外心的位置判断 三角形的形状． 题型一　确定三角形的外心 图２．４Ｇ６ 【例１】如图２．４Ｇ６,在平面直角坐 标系中,一段圆弧经过格点A, B,C,其中点 B 的坐标为(４, ３)．则该圆弧所在圆的圆心 D 的坐标为 ． 审题关键:过A,B,C 三点的圆,实际上就是△ABC 的外 接圆,因此本题实质上是求△ABC外接圆的圆心问