2.3 垂径定理-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

２．３　垂径定理 知识点　垂径定理 名称 文字语言 符号语言 图示 垂径 定理 垂直于弦的直径平 分这条弦,并且平 分弦所对的两条弧 CD 是直径 CD⊥AB }⇒ AM＝BM AC︵＝BC︵ AD︵＝BD︵ ì î í ï ï ï ï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)垂径定理的理论依据是圆的轴对称性． (２)垂径定理中的直径可以是半径,过圆心的直线 或线段,其实质是“过圆心”． (３)垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍成立． 【例】如图 ２．３Ｇ２,在半径为 ５ 的 ☉O 中,弦 AB＝６, OP⊥AB,垂足为点P,则OP 的长为 (　　) 图２．３Ｇ２ A．３　　　　B．２．５　　　　C．４　　　　D．３．５ 解析:连接OA(图略), 因为在☉O 中,OP⊥AB, 所以AP＝ １ ２AB＝３． 在 Rt△OAP 中,OP２＝OA２－AP２＝５２－３２＝１６． 所以OP＝４． 答案:C   > M 对于一个圆和一条直线,如 果具备下列五个条件中的 任意两个,那么一定具备其 他三个: ①过圆心; ②垂直于弦; ③平分弦(非直径); ④平分弦所对的劣弧; ⑤平分弦所对的优弧． 简记为“知二推三”． 特别注意在由①③为条件 推出其他三个结论时,要注 意③中的“弦”一定是非直 径的弦,否则推出的结论不 一定成立．如图２．３Ｇ１所示, 当弦CD 为直径时,AB 平 分弦CD 且过圆心O,但此 时推不出结论②④⑤． 图２．３Ｇ１ ３９ 与 垂 径 定 理 有 关 的 常 用 结论: (１)平分弦所对的一条弧 的直径垂直平分弦,并且 平分弦所对的另一条弧． (２)弦的垂直平分线经过 圆心,并且平分弦所对的 两条弧． 4 明确四个量的关系,轻松应用垂径定理解决问题 在垂径定理的应用中,经常涉及弦长a、圆心到弦 的距离d、半径r及弓形高(弦所对的弧的中点到弦的 距离)h 四个量．这四个量的关系可通过构造直角三角 形,利用勾股定理及线段之间的关系建立如下常用结 论:r２＝d２＋ ( a ２ ) ２ ,r＝d＋h 或r＝h－d,对于此结论 需熟练掌握． １．如图２．３Ｇ４,已知过点P 的直线AB 交☉O 于A, B 两点,PO 与☉O 交于 点 C,且 PA ＝AB ＝ ６cm,PO ＝１２cm．求 ☉O 的半径． 图２．３Ｇ４ 题型一　应用垂径定理进行计算 求圆的半径 【例１】(湖南长沙中考)如图２．３Ｇ３,在☉O 中,弦AB＝６, 圆心 O 到AB 的距离OC＝２,则 ☉O 的半径长为 　　　　． 图２．３Ｇ３ 审题关键:在 Rt△AOC 中,OC＝２,AC＝ １ ２AB＝３ ,可 由勾股定理求OA． 解析:因为弦AB＝６,OC⊥AB, 所以AC＝BC＝ １ ２AB＝３ ,∠ACO＝９０°． 所以在 Rt△AOC 中, OA＝ AC２＋OC２ ＝ ３２＋２２ ＝ １３． 答案:１３ ４９
求弦长 【例２】如图２．３Ｇ５,在☉O 中,直径AB 和弦CD 相交于点E, 已知AE＝１cm,EB＝５cm,且∠DEB＝６０°,求CD 的长． 图２．３Ｇ５ 审题关键:先构造以半径、弦长的一半和弦心距为边 的直角三角形,再利用勾股定理求解． 破题思路: 图２．３Ｇ６ 解:如图２．３Ｇ６所示,作OF⊥CD 于点 F,连接OD． 因为AE＝１cm,EB＝５cm, 所以AB＝６cm,OA＝ １ ２AB＝３cm． 所以OE＝OA－AE＝３－１＝２(cm)． 在Rt△OEF 中,因为∠DEB＝６０°, 所以∠EOF＝３０°． 所以EF＝ １ ２OE＝１cm．❶ 所以OF＝ OE２－EF２ ＝ ３cm． 因为在Rt△OFD 中, OF＝ ３cm,OD＝OA＝３cm, 所以DF＝ OD２－OF２ ＝ ３２－(３) ２ ＝ ６(cm)． 又因为OF⊥CD, 所以DF＝CF． 所以CD＝２DF＝２６cm． 过程释疑: 　❶在直角三角形中,３０°的角所对的直角边等于斜 边的一半． ２．如 图 ２．３Ｇ７,在 △ABC 中,已知 ∠ACB＝１３０°, ∠BAC＝２０°,BC＝２,以 点C 为圆心,CB 为半径 的 圆 交 AB 于 点 D,求 BD 的长． 图２．３Ｇ７ ３．如图２．３Ｇ８,在☉O 中,弦 CD