2.2 圆心角、圆周角-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

２．２　圆心角、圆周角 　知识点一　圆心角的概念及与弧、弦之间的关系   > M 圆心角 一个角是圆心角时必须具备的两个条件: 图２．２Ｇ１ (１)角的顶点在圆心; (２)角的两边与圆相交． 如图２．２Ｇ１所示,∠AOB 叫作AB ︵ 所对的 圆心角,AB ︵ 叫作圆心角∠AOB 所对的弧． 圆心角、弧、弦之间的关系 名称 文字语言 符号语言 图示 定理 在同圆中,如果圆 心角相等,那么它 们所对的弧相等, 所对的弦也相等 结论 在 同 圆 或 等 圆 中,如果两个圆 心角、两条弧和 两条弦中有一组 量相等,那么它 们所对应的其余 各 组 量 都 分 别 相等 ∠１＝∠２⇒ AB︵＝CD︵, AB＝CD;{ AB︵＝CD︵⇒ ∠１＝∠２, AB＝CD;{ AB＝CD⇒ ∠１＝∠２, AB︵＝CD︵{ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　注意:上述的定理和结论成立的前提条件是“在同 圆或等圆中”． (１)在同圆或等圆中,两个 圆心角、两条弧(同为劣弧、 半圆、优弧)、两条弦三组量 之间的相等关系简单地说 就是在同圆或等圆中,圆心 角相等⇔弧相等⇔弦相等． (２)运用圆心角、弧、弦之间 的关 系 定 理 时,不 能 忽 略 “在同圆中”这个前提条件． 如图２．２Ｇ２所示,两 个 圆 的 圆心相同,AB︵与A′B′︵ 对应 同 一 个 圆 心 角,但AB︵≠ A′B′︵ ,AB≠A′B′． 图２．２Ｇ２ 图２．２Ｇ３ ９７ (３)因为一条弦所对的弧 有两条,所以由“弦相等” 得出“弧相等”时,这里的 “弧相等”指的是对应的劣 弧与劣弧相等、优弧与优 弧相等,如图２．２Ｇ３所示, 由图中的 AD＝BD 不能 推出AD︵＝BAD︵ ． 圆心角和圆周角的区别与 联系 关系 圆心角 圆周角 区别 顶点在 圆心 顶点在 圆上 在 同 圆 中,一 条 弧所对的 圆心角是 唯一的 在 同 圆 中,一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 有 无 数个 联系 角的两边都与圆相交   > M 图２．２Ｇ４ 【例１】如图２．２Ｇ４所示,△ABC 的三个顶 点均在 ☉O 上,且 ∠AOB＝ ∠BOC＝ １２０°．求证:△ABC 是等边三角形． 证明:因为∠AOB＝∠BOC＝１２０°, 所以∠AOC＝３６０°－２×１２０°＝１２０°, 所以∠AOB＝∠BOC＝∠AOC, 所以AB＝BC＝AC,所以△ABC 是等边三角形． 运用圆心角、弧、弦之间的关系,轻松证明相等问题 在同圆或等圆中,证明两弦相等时,常用的方法 是找这两条弦所对的弧或圆心角相等．若图中没有等 弧或相等的圆心角,需借助已知的等弦进行推理． 知识点二　圆周角的概念 图２．２Ｇ５ 一个角是圆周角时必须具备的两个条件: (１)角的顶点在圆上; (２)角的两边都与圆相交． 如图２．２Ｇ５,∠ACB 叫作AB ︵ 所对的圆周 角,AB ︵ 叫作圆周角∠ACB 所对的弧． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:(１)“角的两边都与圆相交”指的是角的两边 与圆除了顶点外还有两个公共点． (２)同一条弧所对的圆周角有无数个． 【例２】下列四个选项中,∠α是圆周角的是 (　　) A 　　 B 　　 C 　　 D 解析:选项A和选项B中的∠α不满足角的两边都与圆相交 这个条件,故都不是圆周角;选项D中的∠α不满足角的 顶点在圆上这个条件,故不是圆周角;选项C中的∠α满 足圆周角的两个条件,故其是圆周角． 答案:C ０８ 知识点三　圆周角定理及其结论 名称 文字语言 符号语言 图示 定理 圆周角的度数等 于它所对弧上的 圆 心 角 度 数 的 一半 ∠BAC 是圆周角, ∠BOC 是圆心角,那 么∠BAC＝ １ ２∠BOC 结论 (１)在同圆(或等 圆)中,同弧或等 弧所对的圆周角 相等;相等的圆 周角所对的弧也 相