2.1 圆的对称性-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

第２章　圆 ２．１　圆的对称性 知识点一　圆的定义 圆的 定义 圆是平面内到一定点的距离等于 定长的所有点组成的图形,这个 定点叫作圆心,定长叫作半径．圆 也可以看成是平面内一个动点绕 一个定点旋转一周所形成的图 形,定点叫作圆心,定点与动点的 连线段叫作半径 圆的 表示 以点O 为圆心的圆叫作圆O,记作☉O 圆的 特征 (１)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长 (半径r); (２)平面内到定点的距离等于定长的点都在同一个 圆上 【例１】矩形ABCD 的四个顶点是否在同一个圆上? 如 果不在,请说明理由;如果在,请指出圆心和半径． 解:如图２．１Ｇ１,连接AC,BD,相交于点O． 因为四边形ABCD 是矩形, 所以OA＝OC＝ １ ２AC , OB＝OD＝ １ ２BD． 图２．１Ｇ１ 因为AC＝BD, 所以OA＝OB＝OC＝OD, 所以A,B,C,D 四个顶点都在以点O 为 圆心,OA 长为半径的圆上． (１)“圆”指的是“圆周”,即圆 是一条封闭的曲线,而不是 “圆面”． (２)“圆上的点”指的是“圆 周 上 的 点 ”,圆 心 不 在 圆 周上． (３)确定圆的两个要素: 圆心 确定 →圆的位置, 半径 确定 →圆的大小． ì î í ïï ï ９６ (１)符号“⇔”是双向推出 符号,表示从左端可以推 出右端,并且从右端可以 推出左端． (２)通过一个圆可以把平 面上的点分成三类,即圆 上的 点、圆 内 的 点、圆 外 的点． (３)利用d 与r 的数量关 系,可以判断点 与 圆 的 位 置关系;同样,知道了点与 圆的位置关系,也 可 以 确 定d 与r的数量关系．   > M 巧用圆的特征,判断多点共圆 解决多点是否在同一个圆上的问题,实质上是寻 找一个定点,判断这些点到定点的距离是否相等．若存 在这样的定点,则这些点在同一个圆上;若不存在这 样的定点,则这些点就不在同一个圆上． 知识点二　点与圆的位置关系 把到圆心的距离小于半径的点叫作圆内的点;到圆心 的距离大于半径的点叫作圆外的点． 设☉O 的半径为r,点P 到圆心O 的距离OP＝d,则r 与d 的关系及点与圆的位置关系如下表: 位置关系 图形 性质及判定 点在圆外 d＞r⇔点P 在☉O 外 点在圆上 d＝r⇔点P 在☉O 上 点在圆内 d＜r⇔点P 在☉O 内 【例２】如图２．１Ｇ２,在 Rt△ABC 中,∠ACB＝９０°,CD⊥ AB,AC＝３,BC＝４,若以点 C 为圆心,３为半径作 ☉C,判断点A,B,D 与☉C 的位置关系． A D C B 图２．１Ｇ２ 解:由题意,知☉C 的半径r＝３． 因为AC＝３＝r,所以点A 在☉C 上． 因为BC＝４＞r,所以点B 在☉C 外． 在Rt△ABC 中,∠ACB＝９０°,由勾股定理, 得AB＝ AC２＋BC２ ＝ ３２＋４２ ＝５． 又因为CD⊥AB, 所以S△ABC＝ １ ２AB 􀅰CD＝ １ ２AC 􀅰BC, 所以CD＝ １２ ５＜r ,所以点D 在☉C 内． ０７ 知识点三　圆的有关概念 名称 内容 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦, 如右图中“弦CD” 直径 经过圆心的弦叫作直径,如右图中 “直径AB” 圆弧、 劣弧、 优弧 圆弧:圆上任意两点间的部分叫作 圆弧,简称弧,弧用符号“ 　　︵ ”表示 劣弧:☉O 上两点A,B 间小于半圆 的部分叫作劣弧,记作AB︵ 优弧:A,B 间大于半圆的部分叫作 优弧,记作AMB︵ ,其中点 M 是优 弧上一点 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆 等弧 能够互相重合的弧叫作等弧 【例３】有以下结论:①直径相等的两个圆是等圆;②长 度相等的两条弧是等弧;③一条弦把圆分成两条弧, 这两条弧不可能是等弧．其中正确的有 (　　) A．１个　　　B．２个　　　C．３个　　　　D．０个 解析:直径相等即半径相等,所以①正确;等弧是指在同 圆或等圆中能够互相重合的弧,长度相等的弧不一定 是等弧,所以②错误;直径把圆分成的两个半圆就是 等弧,所以③错误． 答案:A 知识点四　圆的对称性 圆绕圆心旋转任意角度,都能与自身重合,这称为圆 的旋转不变性． 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心． 圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是圆的 对称轴． (１)圆有无数条弦和无数条 直径,直 径 是 圆 中 最 长 的 弦,而弦不一定是直径． (２)在圆中,一条弦对应着 两条弧． (３)半圆是弧,但弧不一定 是半圆． (４)弧 包 括 优 弧、劣 弧 和 半圆． (５)等圆只和半径的大小有 关,和圆心的位置无关． (６)等弧只存在于同圆或等 圆中,等 弧 的 长 度 一 定 相 等,但长度相等的弧不一定 是等弧． (１)圆的对称轴有无数条． (２)因为直径是弦,弦是线 段,而对称轴