1.3 不共线三点确定二次函数的表达式-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

１．３　不共线三点确定二次函数的表达式 知识点　求二次函数的表达式 二次函数常见的三种表达式 用待定系数法求二次函数的表达式 　   > M (１)用顶点式求二次函数表 达式:代入顶点坐标时,要注 意正负号,除顶点坐标外,还 需另一点的坐标才能求出待 定系数的值． (２)当已知对称轴和抛物线 与x 轴的一个交点时,可先 求得抛物线与x 轴的另一 个交点坐标,再将函数表达 式设为交点式求解． (３)设两点式时,两个括号 中的运算符号是“－”,当交 点横坐标是负数时,注意括 号中的符号变化． ７２ １．若二次函数y＝ax２＋ bx＋c的x 与y 的部分 对 应 值 如 下 表,则 当 x＝－ １ ２ 时,y 的值为 (　　) x －２ －１ ０ １ ２ y ５ ０ －１ ２ ９ A．１　　　　B．－１ C．０ D． １ ４ ２．已 知 二 次 函 数 y ＝ ax２＋bx,阅 读 下 面 表 格信息,由此可知y 关 于x 的 函 数 表 达 式 是 ． x －１ １ y ０ ２ ３．已知三个点的坐标,是 否有一个二次函数,它 的图象经过这三个点? (１)P(１,２),Q(２,８), R(３,１６); (２)P(１,２),Q(２,８), M(３,１４)． 题型一　根据表格求二次函数的表达式 【例１】已知二次函数y＝ax２＋bx＋c中自变量x 和函 数值y 的部分对应值如下表: x 􀆺 － ３ ２ －１ － １ ２ ０ １ ２ １ ３ ２ 􀆺 y 􀆺 － ５ ４ －２ － ９ ４ －２ － ５ ４ ０ ７ ４ 􀆺 则该二次函数的表达式为 ． 审题关键:本题是图表信息题,可任意选取表中三个点 利用待定系数法求解,选点时要注意遵循方程组中 各方程的系数尽可能简便的原则． 解析:选取(－１,－２),(０,－２),(１,０)三点, 由题意,得 a－b＋c＝－２, c＝－２, a＋b＋c＝０, ì î í ï ï ï ï 解得 a＝１, b＝１, c＝－２． ì î í ï ï ï ï 因此,所求二次函数的表达式为y＝x２＋x－２． 答案:y＝x２＋x－２ 　题型二　根据三个点的坐标,确定二次函数的存在性 【例２】已知三个点的坐标,是否有一个二次函数,它的图 象经过这三个点? (１)P(２,－１０),Q(－２,６),R(４,－６); (２)P(２,－１０),Q(－２,６),M(４,－１８)． 审题关键:利用待定系数法,建立方程组,通过方程组 的解中a 的值是否为０来判断二次函数的存在性． 破题思路:首先设二次函数y＝ax２＋bx＋c,它的图象经 过已知三点,利用待定系数法求出字母系数,如果求出 a的值不等于０,说明有这样的二次函数;如果求出a的 值等于０,说明没有这样的二次函数． 解:(１)设有一个二次函数y＝ax２＋bx＋c,它的图象 经过P,Q,R 三点, 则得到关于a,b,c的三元一次方程组 ８２ ４a＋２b＋c＝－１０, ４a－２b＋c＝６, １６a＋４b＋c＝－６, ì î í ï ï ï ï 解得 a＝１, b＝－４, c＝－６, ì î í ï ï ï ï 所以y＝x２－４x－６． 因此,二次函数y＝x２－４x－６的图象经过P,Q,R 三点． (２)设有一个二次函数y＝ax２＋bx＋c,它的图象经过 P,Q,M 三点,则得到关于a,b,c 的三元一次方程组 ４a＋２b＋c＝－１０, ４a－２b＋c＝６, １６a＋４b＋c＝－１８, ì î í ï ï ï ï 解得 a＝０, b＝－４, c＝－２, ì î í ï ï ï ï 所以y＝－４x－２． 因此,一次函数y＝－４x－２的图象经过P,Q,M 三 点．这说明没有一个这样的二次函数,它的图象能经 过P,Q,M 三点． >4 根据三个点的坐标,确定二次函数的存在性的策略 若给定不共线三点的坐标,且它们的横坐标两 两不等,则可以确定一个二次函数;而给定共线三 点的坐标,不能确定二次函数． 题型三　用多种方法求二次函数的表达式 【例３】已知抛物线过点(－２,０),(６,０),(０,７),求此抛 物线对应的函数表达式． 审题关键:求二次函数表达式的问题,一般是利用待 定系数法求解．设二次函数表达式时,要结合条件 灵活选用合适的形式． 破题思路:思路１:由于已知三点的坐标,故可设一般式,利 用待定系数法求解． 思路２:由于点(－２,０),(６,０)的纵坐标为０,故此 两点为抛物线与x 轴的交点,所以可设交点式,利 用待定系数法求解． 思路３:由于点(－２,０),(６,０)为抛物线与x 轴的 交点,故利用抛物线的对称性,可求得顶点的横坐 标,所以可先设顶点式,再利用待定系数法求解． ４．已知抛物线如图１．３Ｇ１所 示,求此抛物线对应的函 数表达式． 图１．３Ｇ１ ９２ ５．