1.1 二次函数-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

第１章　二次函数 １．１　二次函数 知识点一　二次函数的概念 有关概念 如果函数的表达式是自变量的二次多项式,那么,这样 的函数称为二次函数,它的一般形式是y＝ax２＋bx＋c (a,b,c是常数,a≠０)．其中x 是自变量,a,b,c分别是 函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 二次函数的表达式必须满足的三个条件 (１)等号右边是整式; (２)自变量的最高次数必须是２; (３)二次项系数不为０． 二次函数的结构特征 等号左边是y,等号右边是关于x 的二次多项式或二 次单项式． (１)当b＝０时,二次函数为y＝ax２＋c; (２)当c＝０时,二次函数为y＝ax２＋bx; (３)当b＝c＝０时,二次函数为y＝ax２． 【例１】下列函数中,哪些是二次函数? (１)y＝３x－１; (２)y＝３x２＋２; (３)y＝３x３＋２x２; (４)y＝２x２－２x＋１; (５)y＝x２－x(１＋x); (６)y＝x－２＋x． (１)注意区分二次函数y＝ ax２＋bx＋c与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝０的异同． (２)对于y＝ax２＋bx＋c, 只有当a≠０时,它是二次 函数;当a＝０,b≠０时,y＝ bx＋c 是一次函数;当a＝ b＝０时,y＝c是常数函数． (３)二次函数表达式的二次 项系数、一次项系数和常数 项都包括它们前面的符号, 不要漏掉． １ 判断是否为二次函数 的“三步骤” 实际问题中自变量的 取值范围的确定 　(１)二次函数自变量的 取值范围一般是全体实 数,但是在实际问题中, 自变量的取值范围有时 会有一 定 的 限 制,自 变 量所取的值应使实际问 题有意义． (２)确定自变量的取值 范围时,需 根 据 题 意 正 确列出不等式或不等式 组,通过 解 不 等 式 或 不 等式组得出实际问题中 自变量的取值范围． 解:(１)不是二次函数．原因:自变量的最高次数是１． (２)是二次函数．原因:函数的表达式符合二次函数的概念． (３)不是二次函数．原因:自变量的最高次数是３． (４)是二次函数．原因:函数的表达式符合二次函数的 概念． (５)不是二次函数．原因:原式整理后为y＝－x,二次 项系数为０． (６)不是二次函数．原因:x－２＋x 为分式,不是整式． 故(２)(４)是二次函数． 知识点二　根据实际情景建立二次函数模型 　　　　　　　示例　　　　　　　 　 　解题模板 审 → 【例２】某商场销售一批衬 衫,平均每天售出２０件, 每件盈利４０元．为减少库 存,商场决定降价处理,每 件衬衫每降价１元,每天 多售出２件．请写出商场 每天盈利y(单位:元)与 每件 衬 衫 降 价 x(单 位: 元)之间的函数表达式． ← 理解题意,找 出已 知 量 和 未知量 　 ↓ 　　　　　　　 找 → 解:降价后,每件衬衫的盈 利为(４０－x)元,每天售出 (２０＋２x)件． 因为每天的盈利＝每件衬衫 的盈利×每天售出的件数, ← 设出表示变量 的字母,并找 出已知量与未 知量之间的等 量关系 　 ↓ 　　　　　　　 列 → 所以y＝(４０－x)(２０＋ ２x)＝－２x２＋６０x＋８００ (０≤x≤４０,x 为整数)． ← 用含字母的式 子表示出等量 关系,并将表 达式写成用自 变量表示因变 量的形式 ２ 题型一　根据二次函数的概念求字母的值 【例１】已知函数y＝(m＋２)xm２－３m－８＋２x＋６是关于x 的二次函数,求满足条件的m 的值． 审题关键:根据二次函数的概念求字母的值时,一般 根据自变量的最高次数等于２列出方程,并要保证 二次项系数不能等于０． 破题思路:由二次函数的概念,得m２－３m－８＝２,且 m＋２≠０,求解可得m 的值． 解:根据题意可得,m２－３m－８＝２,且m＋２≠０, 解得m＝５, 即满足条件的m 的值为５． ?  二次函数概念掌握好,待定轻松变确定 要确定二次函数中待定字母的值,需根据二次 函数自变量的最高次数是２,二次项系数不为０,列 出关于所求字母的方程或不等式,解方程或不等 式,即可确定字母的值． 题型二　函数值的有关计算 【例２】已知二次函数y＝２(x－１)２－３,当x＝－２时, y＝ ;当y＝５时,x＝ ． 审题关键:求函数值时只要将自变量的取值代入函数 表达式即可;而求自变量的值,则需要将函数值代 入函数表达式后解一元二次方程． 解析:将x＝－２代入y＝２(x－１)２－３,得y＝１５; 将y＝５代入y＝２(x－１)２－３, 得２(x－１)２－３＝５, 解得x＝３或x＝－１． 答案:１５　３或－１ １．已知函数y＝(m＋２)􀅰 xm ２－２＋mx 是关于x 的 二次函数,求m 的值并指 出函数的二次项系数、一 次项系数和常数项． ２．做自由落体运动的物体 下落的高度h(m)与下落 的