4.2 正切-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第４章　锐角三角函数 １８３　 ４．２　正　切 知识点一　正切 １．正切的定义 文字语言 数学语言 图示 在直角三角形中,锐角α 的对边与邻边的比叫作角 α 的正切,记作tanα,即 tanα＝ 角α的对边 角α的邻边 在Rt△ABC 中,tanα＝ a b 【例１】在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝４,AB＝６,则 tanA 的值是 (　　) A． ２５ ５ 　　　　B． ５ ２　　　　C． ２ ３　　　　D． ５ ３ 解析 在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝４,AB＝６, 所以BC＝ AB２－AC２ ＝ ６２－４２ ＝２５, 所以tanA＝ BC AC＝ ２５ ４ ＝ ５ ２． 答案 B 4 　　在直角三角形中求一锐角的正切值,若题目没有 给出图形,要先画草图,再运用正切的定义及勾股定 理来解决． ２．特殊角的正切值 α ３０° ４５° ６０° tanα ３ ３ １ ３ (１)tanα是完整的数学符号,是 一个整体,不能理解成tan􀅰α． (２)tanα 中 的α 角 的 符 号 “∠”习惯上省略不写,但对于 用三个大写英文字母或数字表 示的角,角的符号不能省略． (３)tanα 的值只与角α 的大 小有关,而与所在直角三角形 的边的长短无关． (４)正切符号后面可以是单个 小写希腊字母或单个大写英 文字母,也可以是三个大写英 文字母或数字表示的角,还可 以是度数． (１)互余两角的正切值之 间的关系: tanα􀅰tan(９０°－α)＝１． (２)一 锐 角α 的 正 弦 值、 余弦值、正切值之间的商 数关系: tanα＝ sinα cosα． 数学　九年级　上册 １８４　 特殊角的正切值可以借助如 图４．２Ｇ１①②所示的两个特殊 直角三角形记忆． ① ② 图４．２Ｇ１ 使用科学计算器计算锐角的 正切值和角度时,也必须在角 度状态为“度”的情况下(屏幕 显示出 DEG)进行．   > M +
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AF -  U 【例２】计算:sin３０°－cos２４５°＋ ３ ４tan ２３０°＋sin２６０°－ cos６０°． 解 原式＝ １ ２－ ( ２ ２ ) ２ ＋ ３ ４× ( ３ ３ ) ２ ＋ ( ３ ２ ) ２ － １ ２ ＝ １ ２－ １ ２＋ ３ ４× １ ３＋ ３ ４－ １ ２ ＝ １ ２． 　　解决此类问题,可直接将各特殊角的三角函数值 代入计算,根据需要灵活运用运算律以简化计算过程． ３．利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角 所求值 计算器的按键顺序 求tanx°的值 求 tanx°y′z″ 的值 已知tanx°＝a, 求x 的值 【例３】(１)用计算器求正切值(精确到０．０００１): tan８０°２５′４３″; (２)用计算器求锐角α的度数(精确到０．１°): tanα＝２．５３８４． 解 (１)tan８０°２５′４３″≈５．９３０４． (２)α≈６８．５°． 知识点二　锐角三角函数 １．定义 从正弦、余弦、正切的定义看到,任意给定一个锐角α, 都有唯一确定的比值sinα(或cosα,tanα)与它对应． 第４章　锐角三角函数 １８５　 当锐角α变化时,它的比值sinα(或cosα,tanα)也 随之变化．因此,我们把锐角α的正弦、余弦和正切统 称为角α的锐角三角函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:锐角三角函数的定义说明了直角三角形中的边 角之间的关系,它是一个比值,无单位,这些比值只与 锐角的大小有关．在锐角三角函数中,自变量是角α． ２．特殊角的三角函数值 α ３０° ４５° ６０° sinα １２ ２ ２ ３ ２ cosα ３ ２ ２ ２ １ ２ tanα ３ ３ １ ３ 【例４】在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠A,∠B,∠C 的对 边分别是a,b,c,已知b＝５,c＝１３,求∠A 的三角函 数值． 解 根据勾股定理,得a＝ c２－b２ ＝ １３２－５２ ＝１２, 所以sinA＝ a c＝ １２ １３ ,cosA＝ b c＝ ５ １３ ,tanA＝ a b＝ １２ ５． (１)在直角三角形的各边长中,缺少哪个边长,就先由 勾股定理求出哪个边长,再利用锐角三角函数的定义 求解; (２)如果不存在直角三角形,那么先通过作辅助线构 造出直角三角形,再应用锐角三角函数的定义进行 求解． 并非只有在直角三角形中 才有三角函数值,而是只 要有角就有三角函数值． 锐角三角函