3.5 相似三角形的应用-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第３章　图形的相似 １３３　 ３．５　相似三角形的应用 知识点　 利用相似三角形解决简单的测量问题 【例】如图３．５Ｇ１(示意图),利用高１．５m 的竹竿BE 和 太阳光测量建筑物的高度,当竹竿影子的顶端与建筑 物的影子的顶端恰巧都落在 A 点时,测得 AB＝ ２m,BC＝１４m,则楼高CD 为　　　　m． 图３．５Ｇ１ 解题步骤注释 解析 因为EB⊥AC,DC⊥AC, 所以EB∥DC, 所以△ABE∽△ACD, ⬅ 建模型:根据 实 际 问 题 构 造 相 似 三 角 形 所以 BE CD＝ AB AC． ⬅ 得比例:根据 相 似 三 角 形 对 应 边 成 比 例列比例式 因为BE＝１．５m,AB＝２m, BC＝１４m,所以AC＝１６m, 所以 １．５ CD＝ ２ １６ ,所以CD＝１２m． ⬅ 求结果:代入 测 量 出 的 必 要数据求解 答案１２   > M (１)利用相似三角形的有 关知 识 解 决 测 量 问 题 的 核心是构造相似三角形． 在构造相似三角形时,被 测对 象 一 般 是 其 中 的 一 边或其中一边长加上(或 减去)已知边长． (２)测量中允许有一定范 围内的误差． 太阳光线是平行光线,在太阳 光下,由相似三角形的性质得 同一时刻,物高与影长的比相 等,即 被测物体的实际高度 被测物体影子的长度 ＝ 参照物的高度 参照物影子的长度． 数学　九年级　上册 １３４　 常考题型解读 I@3 １．某一天,小明和小亮来到一 河边,想用遮阳帽和皮尺测 量这条河的大致宽度,两人 在确保无安全隐患的情况 下,先在河岸边选择了一点 B(点B 与河对岸岸边上的一 棵树的底部点D 所确定的直 线垂直于河岸)． ①小明在B 点面向树的方 向站好,调整帽檐,使视线 通过帽檐正好落在树的底 部点D 处,如图３．５Ｇ３(示意 图)所示,这时小亮测得小 明 眼 睛 距 离 地 面 的 距 离 AB＝１．７m;②小明站在原 地转动１８０°后蹲下,并保持 原来的观察姿态(除身体重 心下移外,其他姿态均不变), 这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点E 处,如图 ３．５Ｇ３所 示,此 时 小 亮 测 得 BE＝９．６m,小明的眼睛距地 面的距离CB＝１．２m． 根据以上测量过程及测量 数据,请你求出河宽BD 是 多少米． 图３．５Ｇ３ 题型一　利用相似三角形解决测量问题 测量不能直接到达的两点间的距离 【例１】如图３．５Ｇ２,为估算某河的宽度,在河对岸选定一 个目标点 A,在近岸取点B,C,D,使得 AB⊥BC, CD⊥BC,点E 在BC 上,并且点A,E,D 在同一条 直线上．若测得BE＝２０m,CE＝１０m,CD＝２０m, 则河的宽度AB 等于 (　　) 图３．５Ｇ２ A．６０m　　　B．４０m　　　C．３０m　　　D．２０m 思路分析 问题落图中,图中找相似,相似得比例,比例 来列式,列式来计算． 解析 因为AB⊥BC,CD⊥BC, 所以AB∥CD, 所以△BAE∽△CDE, 所以 AB DC＝ BE CE． 因为BE＝２０m,CE＝１０m,CD＝２０m, 所以 AB ２０＝ ２０ １０ ,解得AB＝４０m．故选B． 答案 B 第３章　图形的相似 １３５　 测量不能直接到达的两点间的距离的常用方法 (以测池塘AB 的宽度为例) 方法 原理 图示 说明 “A”字 型图 “X”字 型图 反“A” 字型图 构造 相似 三角 形, 将未 知边 长用 已知 边长 表示 (１)保 证 A,B,C 三 点 共线,A,E,D 三 点 共 线,BE∥CD; (２)测 BC,BE,CD 的长 (１)保证 A,E,D 三 点 共 线,B,E,C 三 点 共 线,AB∥CD; (２)测 BE,CE,CD 的长 (１)保证 A,M,C 三点 共 线,B,N,C 三 点 共 线,AB∥MN; (２)测 BN (或 BC), CN,MN 的长 测量无法直接到达顶部(或底部)的物体的 高度 【例２】(湖南邵阳中考)如图３．５Ｇ４(示意图),某校数学 兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测 量操场旗杆AB 的高度,他们通过调整测量位置,使 斜边DF 与地面保持平行,并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上,已知DE＝０．５m,EF＝０．２５m,目测 点D 到地面的距离DG＝１．５m,到旗杆的水平距离 DC＝２０m,求旗杆的高度． 图３．５Ｇ４ ２．如图３．５Ｇ５(示意图),有一 路灯杆AB．在灯光下,小明 在D 点处的影长DE＝３m, 沿BD 方向行走到达G 点, DG＝５m,这时小明的影长 GH ＝５m．如果小明的身高 为１．７m,求路灯杆AB 的高 度(结果精确到０．１m)． 图３．５Ｇ５ 数学　九年级　上册 １３６　 ３．雨过天晴,小李急