3.4.2 相似三角形的性质-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第３章　图形的相似 １２５　 ３．４．２　相似三角形的性质 知识点一　相似三角形对应线段的比 名称 性质 图示 高 相似三角形对 应高的比等于 相似比 角平 分线 相似三角形对 应的角平分线 的 比 等 于 相 似比 中线 相似三角形对 应边上的中线 的 比 等 于 相 似比 若△ABC∽△A１B１C１,AD 和A１D１ 分别为对应边BC,B１C１ 上的高,AF 和 A１F１ 分 别 为 对 应 角 ∠BAC, ∠B１A１C１ 的角平分线,AE 和A１E１ 分别为对应边BC,B１C１ 上的中线, 则 AD A１D１＝ AF A１F１＝ AE A１E１＝ AB A１B１ 【例１】如果两个相似三角形对应角平分线的比是 ２ ３ ,那 么它们对应高的比是　　　　． 解析 因为两个相似三角形对应角平分线的比是 ２ ３ , 所以它们的相似比是 ２ ３ ,所以它们对应高的比是２ ３． 答案 ２ ３ 相似比是相似三角形性质的“主心骨” 在相似三角形的性质中,相似比就像“主心骨”一 样,起着纽带的作用,通过相似比可以把对应边、对应 高、对应中线、对应角平分线的比联系起来．   > M 应用性质时,一定要注意 “对应”二字,高是对应边 上的高,中线是对应边上 的中线,角平分线是对应 角的角平分线． 相似三角形所有对应线段的 比都等于相似比．  A+! ,!U D+ PU +! ,!U J  U 数学　九年级　上册 １２６　 相似 三 角 形 的 性 质 拓 展 到相 似 多 边 形 中 也 同 样 适用,所以相似多边形的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平方． 解密相似多边形的周长比 与相似比的关系 以三 角 形 为 例,若 △ABC∽ △DEF,则有 AB DE＝ BC EF＝ CA FD＝ k(k为相似比)．设△ABC 的周 长 为 C１,△DEF 的 周 长 为 C２,则C１＝AB＋BC＋CA＝ k􀅰DE＋k􀅰EF＋k􀅰FD＝ k􀅰(DE＋EF＋FD)＝kC２, 由此推出结论:相似三角形的 周长比等于相似比．此结论对 相似多边形同样适用,即相似 多边形的周长比等于相似比． UL!U DJ5UL/+ 4U
U 知识点二　相似三角形的面积比 结论 推导过程 文字语言:相似 三角形的面积比 等 于 相 似 比 的 平方． 数学语言: 若 △ABC ∽ △A′B′C′, 则 S△ABC S△A′B′C′ ＝k ２ (k为相似比) 已知 △ABC ∽ △A′B′C′,相 似 比 为 k, AD,A′D′分别是BC,B′C′边上的高, 则 AD A′D′＝ BC B′C′＝k． 因 此,S△ABC S△A′B′C′ ＝ １ ２ 􀅰BC􀅰AD １ ２ 􀅰B′C′􀅰A′D′ ＝ BC B′C′ 􀅰 AD A′D′＝k 􀅰k＝k２ 【例２】如图３．４．２Ｇ１,在△ABC 中,DE∥BC, DE BC＝ ２ ３ , △ADE 的面积为８,则△ABC 的面积为　　　　． 图３．４．２Ｇ１ 解析 因为DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC, 所以 S△ADE S△ABC ＝ ( DE BC ) ２ ＝ ４ ９． 又因为△ADE 的面积为８, 所以△ABC 的面积为１８． 答案１８ 相似三角形的面积比与相似比的互推 　　若已知两个相似三角形的相似比为k,则它们的 面积比为k２;若已知两个相似三角形的面积比为 m, 则它们的相似比为k＝ m ,即相似比等于面积比的 算术平方根．注意,相似比是指线段的比,只能为正数． 第３章　图形的相似 １２７　 常考题型解读 题型一　相似三角形性质的应用 图３．４．２Ｇ２ 利用相似三角形的性质求线段的长 【例１】(贵州安顺中考)如图３．４．２Ｇ２, 矩形 EFGH 内接于△ABC,且边 FG 落在BC 上,若AD⊥BC,BC＝ ３,AD＝２,EF＝ ２ ３EH ,则EH 的 长为　　　　． 思路分析 解答这类题的方法是利用“相似三角形对应 高的比等于相似比”列出方程,通过解方程得出所求 线段的长． 图３．４．２Ｇ３ 解析 设AD 与EH 相交于点 M,如图 ３．４．２Ｇ３．因为四边形EFGH 是矩形, 所以EH∥BC, 所以△AEH∽△ABC． 因为AD⊥BC,所以AM⊥EH, 所以 AM AD ＝ EH BC ． 设EH＝３x,则EF＝２x,AM＝AD－EF＝２－２x, 所以 ２－２x ２ ＝ ３x ３ ,解得x＝ １ ２． 所以EH＝ ３ ２． 答案 ３ ２ "> 借用相似比,巧求线段长 在相似三角形问题中求线段长时,首先要明确待 求线段在三角形中的位置(如边、中线、高等),然后根 据已知条件构造包含待求线段的相似三角