3.4.1 相似三角形的判定-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

数学　九年级　上册 １１２　   ３．４　相似三角形的判定与性质 ３．４．１　相似三角形的判定 在利 用 平 行 判 定 三 角 形 相似时,关键是找到“A” 字型 图 形 或 “X”字 型 图 形,此时只需“平行”这一 个条件即可判定相似,不 必再用定义．在应用中要 善于 从 复 杂 图 形 中 分 解 出这两种基本图形． 知识点一　平行线截三角形相似 语言描述 图形 文字语言 数学语言 “A”字型 “X”字型 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 与 其 他 两 边相交, 截 得 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相似 若DE∥ BC,则 △ADE 与 △ABC 相似 DE 与AB, AC 相交 DE 与AB, AC 的延长 线相交 DE 与AB, AC 的反向 延长线相交 图３．４．１Ｇ１ 【例１】如图３．４．１Ｇ１,在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD＝２AD,DE∥BC, 且交AC 于点E,若线段DE＝５,则线 段BC 的长为 (　　) A．７．５　　B．１０　　C．１５　　D．２０ 解析 因为DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC,所以 AD AB＝ DE BC． 又因为BD＝２AD,所以 DE BC＝ AD ３AD＝ １ ３． 因为DE＝５,所以BC＝１５． 答案 C 第３章　图形的相似 １１３　 利用“平行线截三角形相似”求线段长“三步走” 　　第１步:找相似,即根据已知条件,找出所需“平 行线”,从而确定相似三角形; 　　第２步:得比例,即利用相似三角形的性质得出 对应边成比例; 　　第３步:得结果,即代入已知的数值并根据线段 间的长度关系,求出线段的长． 知识点二　相似三角形的判定定理１ 利用两角判定三角形相似 文字语言 数学语言 图形 两角分别相等的 两个三角形相似 ∠A＝∠A′, ∠B＝∠B′ }⇒ △ABC∽△A′B′C′ 【例２】在△ABC 和△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝８０°,∠B＝ ７０°,∠C′＝３０°,这两个三角形相似吗? 请说明理由． 解 △ABC∽△A′B′C′．理由如下: 由三角形的内角和是１８０°,得 ∠C＝１８０°－∠A－∠B＝１８０°－８０°－７０°＝３０°, 所以∠A＝∠A′,∠C＝∠C′． 所以△ABC∽△A′B′C′． 知识点三　相似三角形的判定定理２ 利用两边和夹角判定三角形相似 文字语言 数学语言 图形 两边成比例且夹 角相等的两个三 角形相似 AB A′B′＝ AC A′C′ , ∠A＝∠A′ ü þ ý ï ï ï ï ⇒ △ABC∽△A′B′C′ 由“两角判定三角形 相似”推出的结论 (１)顶角(或底角)相等的 两个等腰三角形相似． (２)有一个锐角相等的两 个直角三角形相似． (３)任意两个等边三角形 相似． 利用两边和夹角判定三角形 相似时的两点注意 (１)角:相等的角必须是两组 对应边的夹角． (２)边:夹角的两边要注意对 应,即长边与长边对应,短边 与短边对应． 数学　九年级　上册 １１４　 3 3 @JU,0+>M !+D+ >@U>U AD!U >,0+> , U   E U 2 2 30° 30° 30° +D!U J >F$ 【例３】已知在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AB＝１０,BC＝６．在 Rt△EDF 中,∠F＝９０°,DF＝３,EF＝４,则△ABC 和△EDF 相似吗? 为什么? 解 △ABC∽△EDF．理由如下: 在Rt△ABC 中,AB＝１０,BC＝６,∠C＝９０°, 由勾股定理,得 AC＝ AB２－BC２ ＝ １０２－６２ ＝８． 在△ABC 和△EDF 中, 因为 AC EF＝ ８ ４＝２ ,BC DF＝ ６ ３＝２． 所以 AC EF＝ BC DF． 又因为∠C＝∠F＝９０°, 所以△ABC∽△EDF． 利用“两边和夹角”判定三角形相似的步骤 　　第１步:找出两个三角形中相等的角作为夹角． 　　第２步:找出两个三角形中这个角的两条邻边, 按大小排列确定构成夹角的两组对应边． 　　第３步:看这两组对应边是否对应成比例,若成 比例,则这两个三角形相似,否则不相似． 知识点四　相似三角形的判定定理３ 利用三边成比例判定三角形相似 文字语言 数学语言 图形 三边成比例的两 个三角形相似 AB A′B′＝ BC B′C′＝ AC A′C′⇒ △ABC∽△A′B′C′ 第３章　图形的相似 １１５　 【例４】如图３．４．１Ｇ２所示,已知网格的单位长度为１,观 察图中的△ABC 和△A′B′C′,它们相似吗? 证明你 的结论． 图３．４．１Ｇ２ 解 相似．证明如下: 根据勾股定理,得AB＝２２,BC＝２１０,A′B′＝ ２