3.1 比例线段-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

８７　 - @   第３章　图形的相似 ３．１　比例线段 知识点一　比例的基本性质 比例的基本性质 如果 a b＝ c d ,那么ad＝bc． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 注意:(１)比例的基本性质是双向的,即 a b＝ c d⇔ad＝ bc(a,b,c,d 为非零实数)． (２)由ad＝bc(a,b,c,d 为非零实数)不仅可以得到 a b＝ c d ,还可以得到其他七个等价的比例式: a c＝ b d ,b a＝ d c ,b d＝ a c ,c d＝ a b ,c a＝ d b ,d b＝ c a ,d c＝ b a． 【例１】求下列各式中x 的值: (１)x∶４＝０．３∶６; (２)－ ２ ３∶ ３ ５＝x∶ ( － ３ ７) ． 解 (１)因为x∶４＝０．３∶６, 所以６x＝４×０．３, 所以x＝０．２． (２)因为－ ２ ３∶ ３ ５＝x∶ ( － ３ ７) , 所以 ３ ５x＝－ ２ ３× ( － ３ ７) , 所以x＝ １０ ２１． (１)比例的基本性质是等 式变形的重要依据,利用 它可 以 完 成 比 例 式 到 等 积式的转化． (２)特别地,如果比例内项 是 两 个 相 等 的 实 数,即 a b＝ b d 或a∶b＝b∶d,那么 b叫作a和d的比例中项． (１)合比性质: 如果 a b＝ c d , 那么 a±b b ＝ c±d d ． (２)等比性质: 如果 a b ＝ c d ＝ 􀆺 ＝ m n (b＋ d＋􀆺＋n ≠ ０ ), 那 么 a＋c＋􀆺＋m b＋d＋􀆺＋n＝ a b． 数学　九年级　上册 ８８　 (１)线段的比表示两条线段长 度的倍分关系,求两条线段的 比时,两条线段的长度单位必 须统一． (２)线段的比与所选用的长度 单位无关． (３)线段的比没有单位． 1 1 5U + ! U   U + E!4 U 4 利用比例的基本性质求值“两步走” 　　第１步:将比例式转化为等积式; 　　第２步:解方程求值． 知识点二　两条线段的比 两条线段的比 一般地,如果选用同一长度单位量得两条线段AB,A′B′的 长度分别为m,n,那么把它们的长度的比 m n 叫作这两条线 段AB 与A′B′的比,记作 AB A′B′＝ m n ,或AB∶A′B′＝m∶n． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:两条线段的比是有顺序的,不能颠倒,即线段 AB,A′B′的比是 m n ,而线段A′B′,AB 的比是 n m． 【例２】已知线段a＝５０mm,线段b＝２０cm,则线段a与b 的比是　　　　． 解析 因为２０cm＝２００mm,所以a∶b＝５０∶２００＝１∶４． 答案１∶４ 求两条线段的比的两点注意 (１)判断两条线段的长度单位是否统一,若不统一,则 先统一单位． (２)结果一般化成最简整数比． 知识点三　成比例线段 成比例线段 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段 的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称为比例线段． 例如,四条线段a,b,c,d, a b＝ c d→a ,b,c,d 是比例线 段;AB A′B′＝ BC B′C′＝ AC A′C′→ 线段AB,BC,AC 与线段A′B′, B′C′,A′C′对应成比例． 第３章　图形的相似 ８９　 【例３】判断下列各组线段是否为比例线段． (１)３,５,７,４; (２)１２mm,５０mm,１５mm,４０mm． 解 (１)四条线段按从小到大的顺序排列为３,４,５,７． 因为３∶４≠５∶７,所以这四条线段不是比例线段． (２)四条线段按从小到大的顺序排列为 １２ mm, １５mm,４０mm,５０mm． 因为１２∶１５＝４０∶５０, 所以这四条线段是比例线段． 判断线段是否为比例线段的步骤 　　第１步:当四条线段的长度单位不相同时,应先 统一单位; 　　第２步:把它们按从小到大(或从大到小)的顺序 进行排列; 　　第３步:依次计算第一条与第二条线段的比和第 三条与第四条线段的比,看这两个