2.4 一元二次方程根与系数的关系-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

数学　九年级　上册 ６０　 ∗ ２．４　一元二次方程根与系数的关系   > M 　　 x  x x  x 6 

E0 U  + U 重要推论助解一元二次方程 (１)以x１,x２为实数根的 一元二 次方程(二次项系 数为１)的表达式是x２－ (x１＋x２)x＋x１x２＝０． (２)如果方程x２＋mx＋ n＝０的两个实数根是x１, x２,那 么x１＋x２ ＝－m, x１x２＝n． 知识点　 一元二次方程根与系数的关系 名称 根与系数的关系(韦达定理) 数学语言 当Δ≥０时,设ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的两个根 为x１,x２,则x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a 文字描述 当Δ≥０时,一元二次方程根与系数之间具有如 下关系: 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相 反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比 使用条件 (１)仅适用于一元二次方程; (２)方程必须有实数根,即Δ≥０ 【例】根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程 的两根x１,x２ 的和与积． (１)x２－３x＝０;　(２)４x２－５x＋１＝０;　(３)x２－５＝x． 解 (１)x１＋x２＝－ －３ １ ＝３ ,x１x２＝ ０ １＝０． (２)x１＋x２＝－ －５ ４ ＝ ５ ４ ,x１x２＝ １ ４． (３)整理,得x２－x－５＝０, 所以x１＋x２＝－ －１ １ ＝１ ,x１x２＝ －５ １ ＝－５． 不解一元二次方程,求两根和、积的步骤 　　第１步:把方程化为一般形式; 　　第２步:计算 Δ＝b２－４ac的值,判断方程是否有 实数根; 　　第３步:在 Δ≥０的条件下,利用根与系数的关系 求出两根之和、两根之积． 第２章　一元二次方程 ６１　 0  0 常考题型解读 题型一　利用根与系数的关系求值 求与两根有关的代数式的值 【例１】设x１,x２ 是方程２x２＋４x－３＝０的两个根,利 用根与系数的关系,求下列各式的值: (１)(x１＋２)(x２＋２); (２) x２ x１＋ x１ x２． 思路分析 解决此类问题的关键是把要求值的代数式进 行恒等变形,转化为用两根之和与两根之积表示的 形式． 解 由根与系数的关系,得x１＋x２＝－２,x１x２＝－ ３ ２． (１)(x１＋２)(x２＋２)   x1+x2x1x2 ＝x１x２＋２(x１＋x２)＋４ ＝－ ３ ２＋２× (－２)＋４ ＝－ ３ ２． (２) x２ x１＋ x１ x２＝ x２２＋x２１ x１x２ ＝ (x１＋x２)２－２x１x２ x１x２ ＝ (－２)２－２× ( － ３ ２) － ３ ２ ＝－ １４ ３． I@3 １．若α,β 是 一 元 二 次 方 程 x２＋２x－６＝０的两根,求 α２＋β２的值． ２．关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x２－mx＋２m－１＝０的两 个实数根分别是x１,x２,且 x２１＋x２２＝７,求(x１ －x２)２ 的值． 数学　九年级　上册 ６２　 已知一元二次方程的一个 根,求另一个根的方法 (１)方法１(利用根与系数的关 系求解):当方程的二次项系 数、一次项系数已知,常数项 未知时,利用两根的和求另一 个根;当方程的二次项系数、 常数项已知,一次项系数未知 时,利 用 两 根 的 积 求 另 一 个根． (２)方法２(利用根的定 义 求 解):先把方程的已知根代入 方程求出未知系数,再解方程 求另一个根． ３．已 知 关 于 x 的 方 程x２ ＋ x＋n＝０ 有 两 个 实 数 根 －２,m,求m,n的值． "> 与两根有关的代数式的“百变”秘籍 (１)x２１＋x２２＝(x２１＋２x１x２＋x２２)－２x１x２＝(x１＋ x２)２－２x１x２; (２) １ x１＋ １ x２＝ x１＋x２ x１x２ ; (３)|x１－x２|＝ (x１－x２)２ ＝ (x１＋x２)２－４x１x２． 已知一根,求另一根及字母系数的值 【例２】已知关于x 的方程２x２＋kx－１＝０,若方程的一 个根是－１,求另一个根及k的值． 思路分析 思路１:直接利用一元二次方程根的定义求未 知系数,再解方程求另一根．思路２:设另一个根为x１, 根据一元二次方程根与系数的 关 系,得－１＋x１＝ － k ２ ,－１􀅰x１＝－ １ ２ ,将它们联立求解即可． 解 方法１:因为方程２x２＋kx－１＝０的一个根是－１, 所以２×(－１)２＋k×(－１)－１＝１－k＝０, 所以k＝１． 所以方程为２x２＋x－１＝０, 解得方程的另一个根为 １ ２． 方法２:设另一个根为x１, 则 －１＋x１＝－ k ２ , －１􀅰x１＝－ １ ２ , ì î í ï ïï ï ïï 解得 x１＝ １ ２ , k＝１