2.3 一元二次方程根的判别式-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第２章　一元二次方程 ５５　 0  0 ２．３　一元二次方程根的判别式 知识点　 根的判别式 一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０) 　　　　 　　 根的情况取决于 根的判别式Δ＝b２－４ac 　　　　　　 Δ＞０ 􀲗 有两个不相等的实数根, x１＝ －b＋ b２－４ac ２a , x２＝ －b－ b２－４ac ２a Δ＝０ 􀲗 有两个相等的实数根, x１＝x２＝－ b ２a Δ＜０ 􀲗 没有实数根 【例】不解方程,判断下列一元二次方程根的情况． (１)x２＋１＝２x;　(２)５(x２＋１)－７x＝０; (３)２x２＋３x－１＝０． 解 (１)原方程可变形为x２－２x＋１＝０． 因为a＝１,b＝－２,c＝１, 所以Δ＝b２－４ac＝(－２)２－４×１×１＝４－４＝０, 所以原方程有两个相等的实数根． (２)原方程可变形为５x２－７x＋５＝０． 因为a＝５,b＝－７,c＝５, 所以Δ＝b２－４ac＝(－７)２－４×５×５＝－５１＜０, 所以原方程没有实数根． (３)因为a＝２,b＝３,c＝－１, 所以Δ＝b２－４ac＝３２－４×２×(－１)＝１７＞０, 所以原方程有两个不相等的实数根． 剖析“根的判别式” (１)根 的 判 别 式 仅 适 用 于 一 元 二 次 方 程,当 无 法 判 断 方 程 是 不 是 一 元 二 次 方 程 时,应 对 方 程 进行分类讨论． (２)若说一元二次方程有 实数根,则应包括有两个 不相 等 的 实 数 根 和 有 两 个相 等 的 实 数 根 两 种 情 况,此时b２－４ac≥０,切 勿丢掉等号． (３)根的情况与判别式的 符号是相互依存的关系, 其中的一个确定了,另一 个也就随之确定,但要注 意二次项的系数a≠０这 一前提条件． 数学　九年级　上册 ５６　 “判别式”断“根”三步走 　　第１步:将一元二次方程化为一般形式ax２＋ bx＋c＝０(a≠０),确定系数a,b,c 的值,注意a,b,c 的值要包含它前面的符号; 　　第２步:计算 Δ＝b２－４ac的值; 　　第３步:根据 Δ 与０的大小关系判断方程根的 情况． 常考题型解读 I@3 １．试证明:不论 m 为何值,关 于x的一元二次方程２x２－ (４m－１)x－m２－m＝０总有 两个不相等的实数根． 题型一　利用一元二次方程根的判别式证明 【例１】已知关于x 的一元二次方程９x２－(m＋７)x＋ m－３＝０,试证明不论m 取何值,原方程都有两个不 相等的实数根． 思路分析 要证明一元二次方程一定有两个不相等的实 数根,关键是证明 Δ＞０． 证明 这里a＝９,b＝－(m＋７),c＝m－３, 所以Δ＝b２－４ac＝[－(m＋７)]２－４×９×(m－３)＝ m２－２２m＋１５７＝(m－１１)２＋３６． 因为(m－１１)２≥０, 所以(m－１１)２＋３６＞０, 所以不论m 取何值,原方程都有两个不相等的实数根． "> 判断根的判别式与０的大小关系时的常用技巧 　　含有字母系数的一元二次方程,通过Δ的值证明根 的情况时,Δ的值常通过配方法整理成以下三种形式: ①(x＋a)２,②(x＋a)２＋b(b＞０),③－[(x＋a)２＋b] (b＞０),并通过(x＋a)２≥０,(x＋a)２＋b＞０,－[(x＋ a)２＋b]＜０,判断出一元二次方程根的情况． 第２章　一元二次方程 ５７　 0  0 题型二　 应用根的判别式确定一元二次方程字母 系数的值或取值范围 【例２】(山东菏泽中考)关于x的方程(k－１)２x２＋(２k＋ １)x＋１＝０有实数根,则k的取值范围是 (　　) A．k＞ １ ４ 且k≠１　　　　　B．k≥ １ ４ 且k≠１ C．k＞ １ ４ D．k≥ １ ４ 思路分析 分k－１＝０和k－１≠０两种情况,当k－１≠ ０时,才可利用根的判别式求解． 解析 当k－１≠０,即k≠１时,此方程为一元二次方程． 因为关于x 的方程(k－１)２x２＋(２k＋１)x＋１＝０有 实数根, 所以 Δ＝(２k＋１)２－４×(k－１)２×１＝１２k－３≥０, 解得k≥ １ ４ ; 当k－１＝０,即k＝１时,方程为３x＋１＝０,显然有解． 综上,k 的取值范围是k≥ １ ４． 故选 D． 答案 D "> 根的判别式的符号与根的个数互相决定 Δ＞０⇔有两个不相等的实数根; Δ＝０⇔有两个相等的实数根; Δ＜０⇔没有实数根． 题型三　根的判别式与几何图形的综合应用 【例３】已知a,b,c是△ABC 的三边长,且关于x 的方 程a(x２－１)－２cx＋b(x２＋１)＝０有两个相等的实 数根,试判断△ABC 的形状． 思路分析 解决此类问题的关键是通过根的存在情况与 Δ的关系推出几何图形的边(角)之间的关系,从而判 断几何图形的形状． I@3 ２．