1.2 反比例函数的图象与性质-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

数学　九年级　上册 ８　  １．２　反比例函数的图象与性质 画图巧“偷懒” 自变量x 的 取 值 可 以 以 原点O 为中心,在原点O 的两边取三对(或三对以 上)互 为 相 反 数 的 数,则 列表求y 值的时候,就只 需计算出原点 O 一侧的 函数值,另一侧的函数值 取相应的相反数即可．从 而使计算更为简便,作图 更为准确． 知识点一　反比例函数的图象 画图步骤 → 列表 → 描点 → 连线 　　　　　　 􀪋 􀪋 　　　　　　 􀪋 􀪋 　　　　　 􀪋 􀪋 　 　 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 让 自 变 量 x 取 一 些 非零 实 数, 并 计 算 出 相 应 的 函 数值y,列 出表格 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 在 平 面 直 角 坐标系内,以 自 变 量 x 的 取 值 为 横 坐 标,以相应的 函 数 值 y 为 纵坐标,描出 相应的点 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 把y 轴左 边各 点 和 右边 各 点 分别 用 一 条光 滑 曲 线顺 次 连 接起来 典例示范 【例１】画出反比例函数y＝ ４ x 和y＝－ ４ x 的图象． 解 列表: x －４ －３ －２ －１ １ ２ ３ ４ y＝ ４ x －１ － ４ ３ －２ －４ ４ ２ ４ ３ １ y＝－ ４ x １ ４ ３ ２ ４ －４ －２ － ４ ３ －１ 描点:如图１．２Ｇ１所示．以表中各组对应值为点的坐标, 在平面直角坐标系内描出相应的点． 连线:用光滑曲线顺次连接各点． 第１章　反比例函数 ９　 　 　①　　　　　　　　　② 图１．２Ｇ１ 　细看“双曲线” (１)反比例函数的图象是双曲线,它是由两个分支组 成的; (２)双曲线的两个分支分别位于第一、三象限或第二、 四象限; (３)双曲线可以无限延伸,无限接近坐标轴,但不与坐 标轴相交． 知识点二　反比例函数的性质 表达式 y＝ k x (k为常数,k≠０) k的符号 k＞０ k＜０ 图象 取值范围 x≠０,y≠０ 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 性 质 与坐标 轴交点 双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐 靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交, 也不能“翘尾巴” 增减性 在每个象限内,函数值 y 随自变量x 的增大而 减小 在每个象限内,函数 值y 随自变量x 的 增大而增大 中心对称 对称中心是原点O 轴对称 对称轴是直线y＝－x 对称轴是直线y＝x O x y ;&K%,U F ! A+F 反比 例 函 数 图 象 的 位 置 和函数的增减性,都是由 比例系 数k 的 符 号 决 定 的;反 过 来,由 反 比 例 函 数图 象 所 在 的 位 置 和 函 数的增减性,也可以推断 出k 的符号． 数学　九年级　上册 １０　 O x k> y   > (Uk  U ## UB#B  U O x k< y U U 【例２】已知反比例函数y＝－ ２ x ,下列结论正确的是 ．(填序号) ①图象必经过点(－１,２); ②y 随x 的增大而增大; ③图象在第二、四象限内; ④若x＞１,则y＞－２,且y＜０． 解析 当x＝－１,y＝２时,代入y＝－ ２ x 中成立,①正确; 因为k＝－２＜０, 所以反比例函数y＝－ ２ x 的图象在第二、四象限内, 并且在每一个象限内,y 随x 的增大而增大,②错误, ③正确; 当x＝１时,y＝－２, 所以当x＞１时,y＞－２,且y＜０,④正确． 故正确的结论有①③④． 答案 ①③④ 双曲线“分家”论增减 反比例函数的图象是不连续的,所以反比例函数 的增减性要限定在某一个象限内讨论才有意义,当两 个点在不同的象限内时,不能再用增减性判断函数值 的大小．如笼统地说“当k＞０时,y 随x 的增大而减 小”是错误的． 第１章　反比例函数 １１　 知识点三　反比例函数中比例系数k的几何意义 几 何 意 义 矩形 面积 过双 曲 线 y ＝ k x (k≠