5.3 二次根式的加法和减法-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

第５章　二次根式 ２１５　 M  > M M  > M ５．３　二次根式的加法和减法 知识点一　被开方数相同的最简二次根式 【例１】下列二次根式中,哪些可以合并? ７２,２７,１２５,１．２５, １ ３ , ３ ５ , １ ２． 解 ７２＝６ ２,２７＝３ ３,１２５＝５ ５,１．２５＝ １ １ ４＝ ５ ４＝ ５ ２ , １ ３＝ ３ ３ , ３ ５＝ １５ ５ , １ ２＝ ２ ２． 所以 ７２与 １ ２ 可以合并,２７与 １ ３ 可以合并,１２５ 与 １．２５可以合并． 判断二次根式是否可以合并需“一化二看” (１)“一化”即化成最简二次根式． (２)“二看”即看化简后的二次根式的被开方数是 否相同． (１)几个二次根式能 否合并,不能直接从形式 上判断,需要从化简后的 结果上判断． (２)几个最简二次根 式能 否 合 并 只 与 被 开 方 数有关,与系数无关． 数学　八年级　上册 ２１６　   > M (１)二次根式相加减 时,只把被开方数相同的 最简 二 次 根 式 的 系 数 相 加减,根指数和被开方数 不变． (２)化成最简二次根 式后,被开方数不同的二 次根式不能合并,也不能 丢弃,它们也是结果的一 部分． 知识点二　二次根式的加减法法则 【例２】计算:(１)３＋ １２＋ ２７; (２)６－ ３ ２－ ( ２４－２ ２ ３ ) ; (３)３８－ １ ２ ３２＋７ １ ８ ; (４)２a ３ab２ － b ６ ２７a ３ ＋２ab ３ ４a (a≥０,b≥０)．       解 (１)３＋ １２＋ ２７＝３＋２３＋３３＝(１＋２＋３)３＝ ６３． (２)６－ ３ ２ － ( ２４－２ ２ ３ ) ＝ ６－ ３ ２ － ２４＋ ２ ２ ３＝ ６－ １ ２６－２ ６＋ ２ ３６＝ (１－ １ ２－２＋ ２ ３ ) ６ ＝－ ５ ６６． (３)３ ８－ １ ２ ３２＋７ １ ８ ＝６ ２－２ ２＋ ７ ４ ２＝ (６－２＋ ７ ４) ２＝ ２３ ４ ２． 
  (４)因为a≥０,b≥０, 所以２a ３ab２ － b ６ ２７a ３ ＋２ab ３ ４a ＝２ab ３a － ab ２ ３a＋ab３a＝ (２ab－ ab ２＋ab) ３a＝ ５ ２ab ３a． 第５章　二次根式 ２１７　 知识点三　二次根式的混合运算 二次根式混合 运算的顺序 ⇨ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋先乘方,再乘除,最后加减, 有括号时要先算括号里面的 【例３】计算:(１)３(６＋ ８); (２)(４３－３６)÷２３; (３)(６＋２)(６－３); (４)(４＋ １５)(４－ １５); (５)(２－ ３)２． 解 (１)原式＝ １８＋ ２４＝３２＋２６． (２)原式＝４３÷２３－３６÷２３＝２－ ３ ２２． (３)原式＝６－３６＋２６－６＝－ ６． (４)原式＝４２－(１５)２＝１６－１５＝１． (５)原式＝２２－２×２× ３＋(３)２＝７－４３． 二次根式混合运算中的几种常见形式及运算方法 (１)a(b＋c)＝ ab＋ ac; (２)(a＋ b)(c＋ d)＝ ac＋ bc＋ ad＋ bd; (３)(a＋ b)(a－ b)＝(a)２－(b)２＝a－b; (４)(a± b)２＝(a)２±２ab＋(b)２＝a± ２ ab＋b; (５)(a＋b)÷c＝ a＋b c ＝ ac＋ bc c (c≠０); (６)(a ＋ b)÷ (a － b)＝ a＋ b a－ b ＝ (a＋ b)２ (a)２－(b)２ ＝ a＋２ ab＋b a－b (a≠b)．   > M (１)加法的交换律、结合 律,乘法的交换律、结合律以 及分配律在二次根式的混合 运算中同样适用． (２)对于二次根式的混合 运算,乘法公式中的平方差公 式:a２－b２＝(a＋b)(a－b), 完 全 平 方 公 式:(a±b)２ ＝ a２±２ab＋b２ 也同 样 适 用,它 们可以使二次根式的运算更 简便． 数学　八年级　上册 ２１８　 常考题型解读 １．已知最简二次根式 ７a＋b 与 b＋３ ６a－b可以合并,求a, b的值． ２．计算: (１) ３ ２ － ５４÷２＋ (３－ ３)(１＋ １ ３ ) ; (２)(３＋１)(３－１)＋ ２４－ ( １ ２ ) ０ ． 题型一　 利用被开方数相同的最简二次根式求未 知字母的值 【例１】若最简二次根式 ５a２＋１ ２ 与３ ７a２－１能进行合 并,则a 的值为　　　　． 思路分析 本题的着眼点在于能合并的两个最简二