5.2 二次根式的乘法和除法-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

第５章　二次根式 ２０９　 M  > M M  > M ５．２　二次根式的乘法和除法 知识点一　二次根式的乘法法则 公式 a􀅰 b＝ a􀅰b(a≥０,b≥０) 语言叙述 二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变 示例 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)在应用此公式时,必须注意被开方数的取 值范围,即a,b 必须满足a≥０,b≥０,且公式中的 a,b可以是数,也可以是代数式． (２)二次根式的乘法与积的算术平方根运算是互逆的． (３)实数运算中,乘法的运算律在二次根式的乘法 运算中同样适用． 【例１】计算: (１)１８× ２;　(２) １ ２× ９８ ;　(３)３２×(－２３)． 解 (１)１８× ２＝ １８×２＝ ３６＝６． (２) １ ２× ９８＝ １ ２×９８＝ ４９＝７． (３)３２×(－２ ３)＝３×(－２)× ２×３＝－６６． 二次根式的乘法运算中应注意的问题 (１)二次根式相乘,把被开方数和各个根号外面 的系数分别相乘,将系数相乘的结果作为积的系数, 把被开方数相乘的结果作为积的被开方数． (２)二次根式相乘,被开方数的积中有开得尽方 的因数或因式时一定要开方,其结果要化简为最简二 次根式或整式．   > M (１)此公式可以推广到多 个二次根式相乘:a􀅰 b􀅰 c􀅰􀆺＝ a􀅰b􀅰c􀅰􀆺 (a≥ ０,b≥０,c≥０,􀆺)． (２)m a􀅰nb＝mnab (a≥０,b≥０)． 在二次根式的 乘 法 运 算 中,二次根式前面的系数必须 平方后才能移到根号内与被 开方数相乘,移动时,需注意 系数 的 符 号．例 如,当 a＞０ 时,a １ a ＝ a ２ 􀅰 １ a ＝ a２􀅰 １ a ＝ a ;当a＜０时, a １ －a＝－ a ２ 􀅰 １ －a ＝ － a２􀅰 １ －a＝－ －a． 数学　八年级　上册 ２１０　 (１)若a＜０,b＜０,则 化简 b a 时,被开方数的 两个 因 数(式)要 加 上 负 号,即 b a ＝ －b －a ． (２)若被开方数是带 分数,必须先将其化为假 分数,再利用商的算术平 方根的性质化简． E *A D J 知识点二　商的算术平方根的性质   公式 b a ＝ b a (a＞０,b≥０) 语言叙述 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除 以除式的算术平方根 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)性质成立的条件是a＞０,b≥０,且公式中 的a,b既可以是数,也可以是代数式． (２)商的算术平方根的性质的作用是把被开方数中 的分母化去,使二次根式化为最简二次根式． (３)若a＞０,则 a的倒数是 a a ,即 １ a ＝ a a ． 【例２】化简下列二次根式: (１)５ ４ ９ ;　(２)－４ ５ ３２． 解 (１)５ ４ ９＝ ４９ ９ ＝ ４９ ９ ＝ ７ ３．    (２)－４ ５ ３２＝－ ４５ ３２ ＝－ ４５ ４２ ＝－ ５× ２ ２× ２ ＝－ １０ ２ ． 知识点三　二次根式的除法法则 公式 b a ＝ b a (a＞０,b≥０) 语言叙述 两个二次根式相除,把被开方数 相除,根指数不变   > M 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋