5.1 二次根式-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

１９９　 第５章　二次根式 M  > M M  > M５．１　二次根式 知识点一　二次根式的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋深层剖析:(１)a中的a可以是数,也可以是单项式、多项式、分 式等;(２)a≥０;(３)“ 　 ”的根指数是２,即“ ２ 　 ”,一般省略 根指数２,写作“ 　 ” 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)a(a≥０)实际上就是非负数a 的算术平 方根,既可以表示开平方运算,也可以表示开平方 的结果． (２)在具体问题中,如果已知二次根式 a,就意味 着给出了a≥０这一隐含条件． 【例１】判断下列各式是不是二次根式: (１) －３;　(２)x＋２(x 为有理数); (３)x２＋２x＋１;　(４) －x(x≤０); (５)３－４x． 解 (１)因为被开方数－３＜０,所以 －３不是二次 根式． (２)因为x 为有理数,若x＜－２,则x＋２＜０,不能保 证x＋２为非负数, 所以 x＋２不一定是二次根式． (３)x２＋２x＋１＝ (x＋１)２． 因为无论x 为何实数都有(x＋１)２≥０, 所以 x２＋２x＋１是二次根式． (１)二次根式是从形 式上界定的．判断二次根 式时,不能从化简的结果 来判断,如 １６＝４,虽然 ４不 是 二 次 根 式,但 １６ 是二次根式．因此,二次根 式指的是某种式子的“外 在形态”． (２)形 如 m a (a≥ ０)的式子也是二次根式． m 与 a是相乘的关系,要 注意当m 是分数时,不能 写成带分数,要写成假分 数．例如,当m＝２ ２ ３ ,a＝ ７时,m a要写成 ８７ ３ ． 数学　八年级　上册 ２００　 (４)因为x≤０,所以－x≥０, 所以 －x是二次根式． (５)因为根指数为３,所以３－４x不是二次根式． 判断二次根式的方法 判断一个式子是否为二次根式,主要看它是否同 时具备下列两个条件:(１)根指数是２;(２)被开方数是 非负数(即大于或等于０的数)．二者缺一不可． 知识点二　二次根式在实数范围内有意义的条件 二次根式 a有意义的条件是a≥０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)由于在实数范围内,负数没有平方根．因 此,只有当被开方数是非负实数时,二次根式才在 实数范围内有意义． (２)当a≥０时,a是二次根式;当a＜０时,a无意 义,不是二次根式． 【例２】当x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内 有意义? (１)x－７;　　(２) １ ３－x ． 解 (１)由x－７≥０,得x≥７． 因此,当x≥７时,x－７在实数范围内有意义． (２)由３－x≥０,且 ３－x≠０,得x＜３． 因此,当x＜３时, １ ３－x 在实数范围内有意义． 确定二次根式中字母的取值范围 　　利用二次根式在实数范围内有意义,即被开方数 大于或等于０,列出不等式(组)求解．特别地,当含有 二次根式的式子是分式时,既要求被开方数是非负 数,又要求分式的分母不等于０,进而列不等式(组) 求解． 第５章　二次根式 ２０１　 知识点三　二次根式的非负性 二次根式的非负性: a(a≥０)是一个非负数,即 a≥０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋