4.1 不等式-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

１５７　 0  0 第４章　一元一次不等式(组) M  > M ４．１　不等式 知识点一　不等式的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)不 等 式 表 示 的 是 两 个 数 量 之 间 的 不 等 关系． (２)判断一个式子是否为不等式,关键是看其中是 否含有不等号． 【例１】下列式子中,哪些是不等式? 哪些不是不等式? ①－２＜０;　②２x２＋６≥０;　③５c＋b;　④２x＋y＝５; ⑤３x－１＞－１;　⑥－２≤－１;　⑦ ２ ３x＋y≠０． 解 ③是一个代数式,不是等式,也不是不等式;④用 等号连接,是等式;①②⑤⑥⑦都是用不等号连接的 式子,都是不等式． 把握两点,轻松判断不等式 判断一个式子是否为不等式,要把握两点:(１)是 否含有不等号;(２)是否表示不等关系．另外,一个式子 是否为不等式与不等式是否成立无关． 知识点二　列不等式 １．列不等式的一般步骤 第１步:找出问题中要对比的量,并用代数式表示 出来．   > M (１)不 等 号 “＞,＜, ≥,≤”具有方向性,其左 右两 边 的 式 子 不 能 随 意 交换． (２)不等式中可以不 含未知数． 数学　八年级　上册 １５８　 0  0 常见的不等式基本 语言与符号表示 基本语言 符号表示 a 是正数 a＞０ a 是负数 a＜０ a 是非负数 a≥０ a 是非正数 a≤０ a,b同号 ab＞０或 a b ＞０ a,b异号 ab＜０或 a b ＜０ 常见的三种不等式 (１)绝 对 不 等 式:在 任意 条 件 下 都 成 立 的 不 等式,如 x２ ＋１＞０,２＞ －３; (２)条 件 不 等 式:在 一定 条 件 下 成 立 的 不 等 式,如３x＜９在x＜３时 成立; (３)矛 盾 不 等 式:在 任何 条 件 下 都 不 成 立 的 不等式,如|x＋１|＜０． 　第２步:找出表示不等关系的关键词,用相应的不等 号表示出来． 第３步:将代数式表示的量用不等号连接起来． ２．常见问题中不等号的含义 名称 符号 实际意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 ２＋３＜６ 大于号 ＞ 大于、高出 大于 ３＋３＞５ 小于或 等于号 ≤ 不 大 于、不 超过、至多 小于或等于 (不大于) x≤８ 大于或 等于号 ≥ 不 小 于、不 低于、至少 大于或等于 (不小于) x≥５ 不等号 ≠ 不相等 不等于 a≠０ 【例２】用不等式表示下列数量关系: (１)x 的３倍与４的差小于２; (２)x 的一半不小于３; (３)m 与１的和是非负数; (４)a 是不大于－６的数． 解 (１)３x－４＜２．　(２) １ ２x≥３． (３)m＋１≥０．　(４)a≤－６． 　　 用 不 等 式 表 示 数 量 关 系 的 问 题,一 般 可 分 为 两类: (１)已经明确表示数量的不等关系; (２)知道表示数量的范围． 无论哪一类,解决问题的关键都是要将文字语言 转化为数学符号语言,并正确运用不等号表示出来． 第４章　一元一次不等式(组) １５９　 0  0 常考题型解读 题型一　利用数轴与实数的关系填写不等式 【例１】实数m,n 在数轴上对应的点的位置如图４．１Ｇ１, 用不等号填空． 图４．１Ｇ１ (１)m＋n　　　　０;　(２)m－n　　　　０; (３)mn　　　　０; (４)m２　　　　n; (５)|m|　　　　|n|． 思路分析 本题是利用实数与数轴的关系来补全不等 式,因此熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键． 解析 由数轴可得m＜n＜０． (１)两个负数相加,和仍为负数,故m＋n＜０． (２)因为较小的数减去较大的数,得数小于０,所以由 m＜n 可得m－n＜０． (３)两个负数的积是正数,故mn＞０． (４)正数大于一切负数,故m２＞n． (５)由数轴可得|m|＞|n|． 答案 (１)＜　(２)＜　(３)＞　(４)＞　(５)＞ "> 　　解决本题需要用到与数轴有关的知识: (１)数轴上的任意两点,右边的点表示的数总 是大于左边的点表示的数; (２)数轴原点右边的点表示的数是正数,原点 左边的点表示的数是负数; (３)一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的 点与原点的距离,是一个非负数． １．已知a,b 在数