3.1 平方根-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

１２９　 第３章　实　数 M  > M M  > M３．１　平方根 知识点一　平方根和算术平方根 １．平方根 概念 若r２＝a,则r是a 的一个平方根,也叫作二次方根 表示 方法 性质 (１)一个正数有两个平方根,它们互为相反数; (２)０的平方根是０; (３)负数没有平方根 示例 因为(±３)２＝９,所以９的平方根是±３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)平方根等于它本身的数只有０． (２)被开方数a 是一个非负数(即正数或０)． (３)因为任何一个数的平方都不等于负数,所以负 数没有平方根． ２．算术平方根 概念 正数a 的正平方根叫作a 的算术平方根 表示方法 非负数a 的算术平方根记作 a,读作 “根号a” 算术平方根 a具 有双重非负性 (１)被开方数a 是非负数,即a≥０; (２)算术平方根 a是非负数,即 a≥０ 示例 ４的平方根是±２,而只有２是４的算术 平方根   > M   > M 数学　八年级　上册 １３０　 a,－ a,± a的区别: a 表 示a 的 算 术 平 方 根; － a表示a 的 负 平 方 根(或 表示a 的算术平方根的相反 数);± a表示a 的平方根． (１)平 方 根 的 求 法: 由于正数a 的 平 方 根 有 两个,故求正数a 的平方 根 时,首 先 直 接 加 上 ± 　 ,然后看能否开平 方,能开平方的直接开出 来,对于开平方开不尽的 数,就用± a表示结果． (２)算术平方根的求 法:由于一个非负数a 的 算术平方根只有一个且为 非负数,故求算术平方根 时,可直接写为 a．若开平 方能开尽,则开出来;若开 不尽,则保留根号． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)非负数a 的负平方根记作－ a,读作“负 根号a”． (２)正数的算术平方根是一个正数,负数没有算术 平方根． (３)算术平方根等于它本身的数是１和０． ３．平方根与算术平方根的区别和联系 　　　名称 关系　　　 算术平方根 平方根 区 别 个数 不同 正数的算术平方根只 有１个 正数的平方根有２个 表示方 法不同 正数a 的算术平方 根表示为 a 正数a 的平方根表 示为± a 取值范 围不同 正数的算术平方根一 定是正数 正数的平方根一正一 负,互为相反数 联 系 具有包 含关系 平方根包含算术平方根,算术平方根是平方 根的一种 存在的条 件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 ０的平方根与算术平方根均为０ ４．开平方 概念 求一个非负数的平方根的运算 被开方数的取值 开平方时,被开方数a 必须是非负数,即 a≥０ 与平方的关系 开平方与平方互为逆运算 【例１】分别求下列各数的平方根及算术平方根． (１)１２１;　(２)０;　(３)(－７)２;　(４)１ ９ １６ ; (５)０．００８１． 解 (１)因为１１２＝１２１,所以１２１的平方根是１１与－１１, 即± １２１＝±１１;算术平方根是１１． (２)因为０２＝０,所以０的平方根是０,即 ０＝０;算术 平方根是０． (３)因为(－７)２＝４９,７２＝４９,所以４９的平方根是７ 第３章　实　数 １３１　 　与 －７,所 以 (－７)２ 的 平 方 根 是 ７ 与 －７,即 ± (－７)２ ＝±７;算术平方根是７． (４)因为１ ９ １６＝ ２５ １６ ,( ５ ４ ) ２ ＝ ２５ １６ ,所以２５ １６ 的平方根是 ５ ４ 与－ ５ ４ ,即± １ ９ １６＝± ５ ４ ;算术平方根是５ ４． (５)因为０．０９２＝０．００８１,所以０．００８１的平方根是 ０．０９与－０．０９,即± ０．００８１＝±０．０