2.5 全等三角形-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

数学　八年级　上册 ９６　 M  > M ２．５　全等三角形 (１)全 等 图 形 只 与 形 状、 大小 有 关,与 图 形 的 位 置 无 关．因此,判 断 两 个 图 形 是 否 为全等图形,不仅要看形状是 否相 同,还 要 看 大 小 是 否 相 同,二者缺一不可． (２)在表示两个三角形全 等时,通常把表示对应顶点的 字母写在对应位置上． 全等的基本类型 (１)平移型 (２)翻折型 (３)旋转型 　 　 知识点一　全等图形和全等三角形 全等图形 能够完全重合的两个图形 全等三角形 能够完全重合的两个三角形 表示符号 全等用符号“≌”表示,读作“全等于” △ABC 与 △A′B′C′全等 对应 顶点 在全等三角形 中,互相重合 的顶点 A 与 A′,B 与 B′,C 与C′是对 应顶点 对应 边　 在全等三角形 中,互相重合 的边 AB 与A′B′,AC 与A′C′,BC 与 B′C′是对应边 对应 角　 在全等三角形 中,互相重合 的角 ∠A 与 ∠A′, ∠B 与 ∠B′, ∠C 与∠C′是对 应角 【例１】请观察图２．５Ｇ１中的６组图案,其中是全等图形 的是　　　　(只填序号)． 　 ①　　　 　 ②　 　 　 ③ 　　　　 　④　 　　　 ⑤　 　 　 ⑥ 图２．５Ｇ１ 解析 ①⑤⑥是将其中一个图形旋转一定的角度后平 移得到另一个图形的;②中两个图形的形状相同,但 大小不相等;③中两个图形的形状不同;④是将其中 一个图形翻折后得到另一个图形的． 答案 ①④⑤⑥ 第２章　三角形 ９７　 【例 ２】如 图 ２．５Ｇ２,△ABC ≌ △EDA,∠BAC 与 ∠DEA 是对应角,AB 与ED 是对应边,写出其他对 应边及对应角． 图２．５Ｇ２ 解 BC 与 DA,AC 与 EA 是 对 应 边,∠ABC 与 ∠EDA,∠ACB 与∠EAD 是对应角． 在全等三角形中,确定对应边、对应角的方法 (１)在全等三角形中,确定对应边的方法:①最长 (短)边与最长(短)边是对应边;②公共边是对应边; ③对应角所对的边是对应边;④两个对应角的夹边是 对应边． (２)在全等三角形中,确定对应角的方法:①最大 (小)角与最大(小)角是对应角;②公共角或对顶角是 对应角;③对应边所对的角是对应角;④两条对应边 的夹角是对应角． 知识点二　全等三角形的性质 文字表达 全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等 数学符号 语言表示 已知△ABC≌△A′B′C′,则AB＝A′B′,AC＝A′C′, BC＝B′C′,∠A＝∠A′,∠B＝∠B′,∠C＝∠C′ 【例３】如图２．５Ｇ３,点 A,B,C,D 在同一条直线上, △ABF≌△DCE,AF 和DE,BF 和CE 是对应边． 求证:AF∥DE． 图２．５Ｇ３ 位置转变,依然是全等形． ,>U, >7U A@  0> U   > M (１)由全等三角形的 定义,知全等三角形的周 长相 等,面 积 相 等,但 周 长相 等 或 面 积 相 等 的 两 个三角形不一定全等． (２)全等三角形对应 边上的高、对应边上的中 线、对应角的平分线相等． 数学　八年级　上册 ９８　   > M 用“边角边”证明三角形 全等时,所用的角必须是已知 两组等边的夹角．两边与其中 一边的对角分别相等时,两个 三角形不一定全等,即不存在 “边边角”． 证明 因为△ABF≌△DCE,所以∠A＝∠D． 又因为点A,B,C,D 在同一条直线上, 所以AF∥DE． 4 全等三角形性质的两点应用 (１)求线段:由全等三角形的性质,可以直接确定 对应边相等,也可以间接求解相关线段的长度等． (２)求角:由全等三角形的性质,可以直接确定对 应角相等,也可以间接求解相关角的大小等． 知识点三　边角边(或SAS) 文字表述 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 全等元素 两边与这两边的夹角 书写格式 在△ABC 和△DEF 中, AB＝DE, ∠B＝∠E, BC＝EF, ì î í ï ï ïï 所以△ABC≌△DEF(SAS) 【例４】如图２．５Ｇ４,AE∥CF,AE＝CF,BE＝DF． 求证:△ADE≌△CBF． 图２．５Ｇ４ 证明 因为AE∥CF, 所以∠AED＝∠CFB． 因为DF＝BE, 所以DF＋EF＝BE＋EF,即DE＝BF． 在△ADE 和△CBF 中, AE＝CF, ∠AED＝∠CFB, DE＝BF, ì î í ï ï ï ï 所以△ADE≌△CBF(SAS)． 第２章　三角形 ９９　 知识点四　角边角、角角边(或ASA、AAS) 角边角(或 ASA) 角角边(或 AAS) 文字表述 两角及其夹边分别相等 的两个三角形全等 两角分别相等且其中一 组等角的对边相等的两 个三角形