1.5 可化为一元一次方程的分式方程-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

第１章　分　式 ３５　 M  > M M  > M １．５　可化为一元一次方程的分式方程 知识点一　分式方程的概念 分式方程必须同时满足的三个条件 (１)是方程; (２)方程中含有分母; (３)分母中含有未知数． 【例１】下列式子: １ y ＝ ２ y＋１ ,２x－５ ３ ＝ x＋４ ２ ,y ４＋ ３y－１ ５ ＝ －２, ５ x ,３ x－１＝ ２ x＋３ ,其中分式方程有 (　　) A．１个　　　　　　　　　B．２个 C．３个 D．４个 解析 第２个和第３个方程中分母不含有字母,第４ 个不是方程,故它们不是分式方程．第１个和第５个 是分式方程．故选B． 答案 B 　　判断方程是否为分式方程,要看方程的分母中是 否含有未知数,而不仅仅看有没有分母(或分数线)． 知识点二　解分式方程  > M １．解分式方程的一般思路 可化为一元一次方程的分式方程 去分母 转化→一元一次方程 识别分式方程时,不 能 对 方 程 进 行 约 分、通 分,更不能运用等式的基 本性质进行变形． E U+- U/U  -U   / U 解 分 式 方 程 必 须 进 行 检验! 数学　八年级　上册 ３６　 EDK+ ?>OU / / 增根的产生是解 分 式 方 程的第一步“去分母”造成的． 去分母时,方程两边同乘的最 简公分母是含有字母的式子, 这个式子有可能为零,对于整 式方程来说,求出的根成立, 而对于原分式方程来说,分式 无意义,所以这个根是原分式 方程的增根． ２．解分式方程的一般步骤 ３．分式方程的增根的概念 使最简公分母的值为０的未知数的值就是分式方程 的增根． 【例２】解下列分式方程: (１) １ x－２－１＝ １ ２－x ;　(２) ３ x－１－ x＋２ x(x－１)＝０． 解 (１)方程两边同乘x－２,得１－(x－２)＝－１．解得 x＝４． 检验:把x＝４代入最简公分母,得x－２＝４－２＝２≠０． 因此,x＝４是原方程的解． (２)方程两边同乘x(x－１),得３x－(x＋２)＝０．解得 x＝１． 检验:把x＝１代入最简公分母,得x(x－１)＝１× (１－１)＝０． 所以x＝１不是原方程的根,是增根．因此,原方程无解． 解分式方程需避免的三点遗漏 (１)解分式方程避免漏检验:由于去分母会使未 知数的取值范围发生变化,可能产生增根,故解分式 方程时一定要检验． (２)解分式方程避免漏乘:去分母时,不要漏乘没 有分母的项． (３)解分式方程避免漏添括号:当分式的分子是 多项式时,去分母时一般要将其括起来． 第１章　分　式 ３７　 知识点三　分式方程的应用   > M １．列分式方程常用的等量关系 (１)行程问题:速度×时间＝路程． (２)利润问题:利润＝售价－进价; 利润率＝利润÷进价×１００％． (３)工程问题:工作量＝工作时间×工作效率; 总工作量＝各个分工作量之和． (４)储蓄问题:本息和＝本金＋利息． ２．列分式方程解应用题的一般步骤 【例３】端午节期间,某食堂用７００元购进甲、乙两种粽 子２６０个,其中甲种粽子比乙种粽子少用１００元,已 知甲种粽子单价比乙种粽子单价高２０％,乙种粽子 的单价是多少元? 甲、乙两种粽子分别购买了多 少个? 解 设乙种粽子的单价是x 元,则甲种粽子的单价是 (１＋２０％)x 元． 由题意,得购买甲种粽子花了３００元,购买乙种粽子 花了４００元,故可列方程 ３００ (１＋２０％)x＋ ４００ x ＝２６０ ,解 得x＝２．５． 经检验,x＝２．５是原分式方程的解,且(１＋２０％)x＝ ３,都符合题意． 故甲种粽子购买了 ３００ ３ ＝１００ (个),乙种粽子购买了 ４００ ２．５＝１６０ (个)． 答:乙种粽子的单价是２．５元,甲、乙两种粽子分别购 买了１００个、１６０个． 设未知数的两种方法 (１)直 接 设 未 知 数: 问什么就设什么; (２)间 接 设 未 知 数: 所设 的 未 知 数 并 不 是 所 要求的．当直接设题中的 未知数较麻烦时,可间接 地设未知数． 数学　八年级　上册 ３８　 常考题型解读 １．解分式方程: (１) ２ x２－４＋ x x－２＝１ ; (２) ２ ３＋ x ３x－１＝ １ ９x－３ ; (３) x x－３－１＝ ３ x２－x－６ ; 题型一　分式方程的解法 【例１】解方程: (１) ３ (x＋３)(x＋５)＋ ５ (x＋３)(x－５)＝ ６ x２－２５ ; (２) x＋２ x＋１－ x＋４ x＋３＝ x＋６ x＋５－ x＋８ x＋７． 思路分析 解分式方程的一般思路是将分式方程转化为 整式方程,首要的是找到最简公分母．对于去分母复 杂的方程,可考虑先变形或将方